一元三次方程的一般式，和一般的转变方法，计算

Question

就像一元二次..y=ax^2+bx+c。有平方差，完全平方等等等等的计法，以上请一一详细例举

Answer 1

将最高项系数化为1后为：x^3+ax^2+bx+c=0
令x=y-a/3，方程化为：y^3+py+q=0
P=b-a^2/3, q=c-ab/3+2a^3/27
令y=u+v代入，得：u^3+v^3+3uv(u+v)+p(u+v)+q=0
u^3+v^3+q+(u+v)(3uv+p)=0
如果令：u^3+v^3+q=0, 3uv+p=0, 并求出u,v则可得y=u+v为解。
u^3+v^3=-q
uv=-p/3, u^3v^3=(-p/3)^3=-p^3/27
u^3, v^3为二次方程: z^2+qz-p^3/27=0的解。
得u^3, v^3 =z=(-q±√D)/2，其中 D=q^2+4p^3/27
所以u,v为： z1,z2= 3√z.
令 ω=(-1+i√3)/2，得y的三个解为：
y1=z1+z2
y2=ωz1+ω2z2
y3=ω2z1+ωz2

从而得：
x1=y1-a/3
x2=y2-a/3
x3=y3-a/3

D>0有一个实根及一对共轭复根
D=0有三个实根，其中有两个或三个根相等
D<0有三个不等实根
当D<0时，可根据一个三角恒等式方便地求出三个实根：
cos 3A=4cos3A-3cosA
z=cosA , z^3-3/4z-1/4 cos3A=0
令y=nz,代入 y^3+py+q=0,得 z^3+z p/n^2+q/n^3=0
只需令p/n^2=-3/4,q/n^3=-1/4cos3A,即
n=√-4p/3,
cos3A=-4q/n3=-q/2/(√(-p^3/27)
由于D<0,因此上式中其绝对值小于1，因此反余弦即可求出3A，进而得A。
z的三个解为：cosA, cos(A+120°), cos(A+240°)
从而得y=nz.