什么是矩阵的条件数、病态方程组等概念？

Answer 1

关于矩阵的条件数、病态方程组等，这些概念是计算数学中比较重要的概念，这里只作简单的介绍。

考虑线性方程组

地球物理数据处理基础

完全由它的系数矩阵A和右端向量b所确定。在求解线性方程组时，这些都作为已知数据。在实际问题中，这些数据往往由观测或通过其他计算得到的，因而必定带有误差或某种不确定性的影响，从而引起解的误差或解的不确定性，因而有必要对线性方程组的性态进行研究。

先假定系统矩阵A非奇异，是精确的，而右端向量b有误差，假设它可以表示为b＋δb，并且同时假设解的误差为δx，则有

地球物理数据处理基础

显然，Aδx＝δb，所以，δx＝A^－1δb，从而有

‖δx‖≤‖A^－1‖·‖δb‖

又由原方程（3－11）式有

地球物理数据处理基础

因此

地球物理数据处理基础

假定b≠0，因而x≠0，我们有

地球物理数据处理基础

如果假定b是精确的，而A有微小误差（扰动），表示为A＋δA，并且相应的解为x＋δx，此时

地球物理数据处理基础

假定A＋δA非奇异，则

地球物理数据处理基础

因为原式x＝A^－1b，所以

地球物理数据处理基础

最后得到

地球物理数据处理基础

从式（3－15）和式（3－19）可以看到，线性方程组解的相对误差与观测数据相对误差之间的关系可以由‖A^－1‖·‖A‖来确定。我们给‖A^－1‖·‖A‖一个名称，即对非奇异矩阵A，称‖A^－1‖·‖A‖为矩阵A的条件数，记作cond（A）。

矩阵条件数与所取的矩阵范数有关，最常用的是最大范数‖A‖_∞和谱范数‖A‖₂，相应的条件有

地球物理数据处理基础

和

地球物理数据处理基础

当A为对称矩阵时，其谱条件数为

地球物理数据处理基础

其中：λ₁，λ_n为矩阵A^TA的绝对值最大和绝对值最小的特征值。

条件数具有如下性质：

（1）任何非奇异矩阵A，都有cond（A）≥1，cond（A）＝‖A‖·‖A^－1‖≥‖A^－1 A‖＝1；

（2）设A为非奇异阵，并且c≠0（常数），则cond（cA）＝cond（A）；

（3）如果A为正交矩阵，则cond（A）₂＝1；

（4）若A为非奇异矩阵，R为正交矩阵，则cond（RA）₂＝cond（AR）₂＝cond（A）₂。

由式（3－15）和式（3－19）可知，若cond（A）不太大，则数据误差对解的影响不大。反之，若cond（A）很大，则数据误差对解的影响很大。若线性方程组系数矩阵A的条件数cond（A）相对很大，我们就称A（对求解线性方程组而言）是“病态”的，并且称A是“病态”矩阵，或者说A是坏条件的。矩阵“病态”性质是矩阵本身的特性。A条件数越大，病态程度越严重，也就是越难得到方程组比较准确的解。反之，则称A是“良态”的。

［例］计算 的各种和范数和条件数。

解：根据定义可算出‖A‖₁＝6，‖A‖_∞＝7， 5.477，

但计算‖A‖₂时，要求出A^TA的特征值λ₁，λ₂。在线性代数里，求使方程

地球物理数据处理基础

或（Q－λI）x＝0具有非零解的特征值λ，只需对特征多项式求根，即求解特征方程

地球物理数据处理基础

本例中

地球物理数据处理基础

其特征方程为

地球物理数据处理基础

即

（10－λ）（20－λ）－14×14＝0

经展开，得

λ²－30λ＋200－196＝0

或者

λ²－30λ＋4＝0

解此二次方程得

λ₁＝15＋14.866＝29.866

λ₂＝15－14.866＝0.144

故

地球物理数据处理基础

从而

地球物理数据处理基础

这里简单介绍特征值的几何意义，对2阶矩阵 它是通过点Q₁（10，－14）和点Q₂（－14，－20）的一个椭圆，其长半轴就是特征值λ₁＝29.866，短半轴是特征值λ₂＝0.144，两个特征值之比就描述了这个椭圆的奇异度。对3阶矩阵，就是一个椭球，对n阶矩阵就是一个所谓超椭球，它的最大、最小半轴之比就表明这个超椭球的奇异度。关于计算n阶矩阵的特征值和特征向量的方法有幂法和反幂法，雅可比法、豪斯荷尔德法和QR法等，可参考有关书籍。