一道初一数学题,急急急高手进!!

Question

数学家高斯在上学时曾经研究过这样一个问题, 1+2+3+....+100？经过研究,这个问题的一般性结论是： 1+2+3+...+n（n+1）,其中n是正整数。 现在我们来研究一个类似的问题1x2+2x3+3x4+...+n(n+1)=?观察下面3个特殊的等式： 1x2=三分之一（1x2x3-0x1x2） 2x3=三分之一（2x3x4-1x2x3） 3x4=三分之一（3x4x5-2x3x4） 将这3个等式的两边相加,可以得到：1x2+2x3+3x4=三分之一x3x4x5=20 读完这段材料,请你思考后回答： （1）1x2+2x3+3x4+...+100x101= （2）1x2+2x3+3x4+...n(n+1)= 根据上面的结果猜想下面的算式结果： 1x2x3+2x3x4+3x4x5+...+n（n+1)（n+2）= （要答案和过程哦~~~）

Answer 1

（1）因为1x2=三分之一1x2x3-0x1x2）2x3=三分之一（2x3x4-1x2x3）3x4=三分之一（3x4x5-2x3x4） 所以1x2+2x3+3x4+...+100x101 =1/3（1x2x3-0x1x2）+1/3（2x3x4-1x2x3）+1/3（3x4x5-2x3x4）+...+1/3（100x101x102-99x100x101） 提出1/3后得 1/3（1x2x3-0x1x2+2x3x4-1x2x3+3x4x5-2x3x4+…+100x101x102-99x100x101) 由题中1x2+2x3+3x4=三分之一x3x4x5=20可知括号中一加一减的都约掉 最后剩下1/3（0x1x2+100x101x102）=1/3x100x101x102=343400 (2)和上题一样 1x2+2x3+3x4+...n(n+1) =1/3 n(n+1)(n+2) (3) 1x2x3+2x3x4+3x4x5+...+n（n+1)（n+2） =1/4(n+1)(n+2)(n+3))

Answer 2

（1）把3个等式相加的过程展开：
1x2+2x3+3x4=1/3（1x2x3-0x1x2）+1/3（2x3x4-1x2x3)+1/3（3x4x5-2x3x4）
=1/3（1x2x3-0x1x2+2x3x4-1x2x3+3x4x5-2x3x4)
=1/3（3x4x5）=20
所以1x2+2x3+3x4+...+100x101=1/3（100x101x102）=343400
（2）1x2x3=1x2x3（4-0）x1/4 2x3x4=2x3x4（5-1）x1/4
由上题多项相加规律可得1x2x3+2x3x4+3x4x5+...+n（n+1)（n+2）= 1/4（n+1)（n+2）（n+3）

+1/3

Answer 3

每项为一位数
1+2+3+...+100=1/2*100*101
1+2+3+...+n=1/2*n(n+1)
每项为两位数
1*2+2*3+3*4+...+100*101=1/3*100*101*102
1*2+2*3+3*4+...+n(n+1)=1/3*n(n+1)(n+2)
每项为三位数
1*2*3+2*3*4+3*4*5+...+n(n+1)(n+2)=1/4*n(n+1)(n+2)(n+3)