大数定律是说什么的？

Question

大数定律是说什么的？

Answer 1

概率论中讨论随机变量序列的算术平均值向常数收敛的定律。概率论与数理统计学的基本定律之一。又称弱大数理论。例如，在重复投掷一枚硬币的随机试验中，观测投掷n次硬币中出现正面的次数。不同的n次试验，出现正面的频率（出现正面次数与n之比）可能不同，但当试验的次数n越来越大时，出现正面的频率将大体上逐渐接近于1／2。又如称量某一物体的重量，假如衡器不存在系统偏差，由于衡器的精度等各种因素的影响，对同一物体重复称量多次，可能得到多个不同的重量数值，但它们的算术平均值一般来说将随称量次数的增加而逐渐接近于物体的真实重量。由于随机变量序列向常数的收敛有多种不同的形式，按其收敛为依概率收敛，以概率 1 收敛或均方收敛，分别有弱大数定律、强大数定律和均方大数定律。常用的大数定律有：伯努利大数定律、辛钦大数定律、柯尔莫哥洛夫强大数定律和重对数定律。

设有一随机变量序列，假如它具有形如（1）的性质，则称该随机变量服从大数定律。

伯努利大数定律设μn为n重伯努利实验中事件A发生的次数，p为每次实验中A出现的概率，则对任意的ε>0，有（2）成立。

马尔可夫大数定律对随机变量序列，若（3）成立，则服从大数定律，即对任意的ε>0，（1）式成立。

辛钦大数定律设为独立同分布的随机变量序列，若Xi的数学期望春在，则服从大数定律，即对任意的ε>0，（1）成立。

参考资料：http://baike.baidu.com/view/21250.htm

Answer 2

伯努利大数定律
设 是 重伯努利试验中事件 发生的次数，且 在每次试验中出现的概率 ，则对于任意正数 ，有
。 (5.2.2)
证 令
， ，
则 是 个相互独立的随机变量，且
， 。
而
，
于是
。
由契比雪夫不等式有

。
又由独立性可知
，
从而有
。
这就证明了（5.2.2）式，定理得证。
频率“靠近”概率是可以直接观察到的一种客观现象，而上述伯努利大数定律则从理论上给了这种现象以更加确切的含义。所谓“大数”就是指观测值 数量较大，因而伯努利大数定律揭示了大量重复试验下所呈现的客观规律。

参考资料：http://media.open.edu.cn/media_file/rm/ip2/2003_08_26/yygltj5/18/htm/2_2.html