七、设W1和W2是n维向量空间V的两个子空间,且维数之和为n,证明

七、设W1和W2是n维向量空间V的两个子空间,且维数之和为n,证明:存在V上的线性变换σ,使ker(σ)=W1,Im(σ)=W2

第1个回答  2011-12-05
设ε1……εr和α1……αn-r分别是W1和W2的一组基,可知ε1……εr可扩充为V的一组基,设扩充后这组基变为ε1……εn,则对于V中的任意一个元素ζ=k1ε1+……+knεn,设变换σ把它变换为η=k(r+1)α1+……+knαn-r,可知这个变换的像空间是W2,并且由于σ(β+γ)=[k1(r+1)+k2(r+1)]α1+……+(k1n+k2n)αn-r=[k1(r+1)α1+……+k1nαn-r]+[k2(r+1)α1+……+k2nαn-r]=σβ+σγ,σtφ=tk3(r+1)α1+……+tk3nαn-r=t[k3(r+1)α1+……+k3nαn-r]=tσφ,所以σ是一个线性变换,它的核子空间为k(r+1)=……=kn=0的V中元素构成的集合,即它的核子空间为W1.本回答被提问者采纳

七、设W1和W2是n维向量空间V的两个子空间,且维数之和为n,证明
+k3nαn-r]=tσφ,所以σ是一个线性变换,它的核子空间为k(r+1)=……=kn=0的V中元素构成的集合,即它的核子空间为W1.

设n是正整数,V是数域P上的一个n维线性空间,W1.W2都是V的子空间,而且它 ...
先取V的一组基{e},这样就可以用具体的坐标来描述所有的东西 假定m=dim(W1), k=dim(W2)=n-m, 只需讨论m和k都非零的情况,余下的是平凡的 取W1的一组基,这组基在{e}下的坐标表示是一个nxm的矩阵X 取W2的一组基,这组基在{e}下的坐标表示是一个nxk的矩阵Y 再取关于z的线性方程...

;设W1和W2是V的子空间,且W=W1+W2,互证明以下等价命题 1.W1交W2={0}...
a1-a2=b2-b1,,注意到a1-a2位于W1,b2-b1位于W2,因此这两个向量同时位于W1和W2,于是由1知道a1-a2=0,b2-b1=0。故表示法唯一。2推3:a1,...,ar;b1,...,bs分别是W1,W2的基,下证这些向量组成W1+W2的基。只需证明线性无关。设k1a1+...+krar+t1b1+..+tsbs=0=0a1+...+0...

...设v1v2都是n维欧式空间的线性子空间,且v1的维数小于v2的维数,_百 ...
令dim(v1)=k1, dim(v2)=k2 记v1的正交补为w1,那么dim(w1)=n-k1 由于dim(w1)+dim(v2)>n,w1和v2的交非零

设S是n维向量空间V的子集,证明一下两点:
1,反证,若>n,因为s是v的子集,又s线性无关,可知v维数大于n,矛盾.若s是基底,自然=n,若=n,且v中存在s无法表示出的向量,则存在一个向量与s线性无关,又s自身线性无关,所以v的基的个数>n,矛盾。2,如果v=L(s),可知s中至少有v中一组基,所以>=n,若=n,因为v=L(s),自然s是...

求和空间W1+ W2以及交空间W1Π W2的基与维数
即dimW2=dim(W1∩W2)同样,因为W1∩W2是W2的子空间,故此时W1∩W2=W2,同理,若dim(W1)=dim(W1+W2),则易证此时W1∩W2=W1,W1+W2=W2 这就证明了若W1,W2是n维线性空间V的两个线性子空间,dim(W1+W2)-1=dim(W1∩W2),证明W1+W2与其中的一个子空间相等,W1∩W2与另一个子空间相等。

怎么理解子空间的直和
设V1和V2是V的两个子空间,n(V)表示V的维数,则有公式n(V1)+n(V2)=n(V)-n(V1∩V2),如果这两个子空间之交的维数等于0,即n(V1∩V2)=0,有n(V1)+n(V2)=n(V),就是说子空间的维数之和等于V的维数,这样的子空间之和就是直和。例如三维欧式空间V中,取过原点的一直线记为V1...

第三章 n维向量空间(2)
定义:设向量空间V的一个子空间W,若满足W中向量线性无关,并且W中的每一个向量均可由V线性表出,称W为V的一组基。向量空间基与极大线性无关组类似,但需注意二者概念的区分。定义:子空间V的基所含向量个数称为维数,记为dim(V)。定理:设向量空间V的一组基,其每一个向量可唯一线性表出,...

设V是数域F上的n维向量空间,L(V)的维数等于()希望说明为什么
1 这个是高代书上的定义

证明两个线性空间同构有哪些方法
有限维的在相同数域下的线性空间才是这样.否则不一定.同构,一定维数相同,这个是显然 的.如果维数相同的V和W.分别取两个空间的基 v1,v2,.,vn和 w1,w2,...,wn 对于 v∈V,w∈W 定义 f:V→W.f满足 v与f(v)在各自空间内的基有相同的坐标.显然f是一个同构....

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