关于高数初等变形，如何根式有理化，麻烦指点下，纠结死了~

Question

x^(1/2) -1
lim -----------------
x-1 x^(1/3) -1

Answer 1

这类题目有两种方法：有理化（通用）或者换元（简单）

1、有理化

一般是利用平方差、立方差公式

比如本题，分子是 √x - 1

根据平方差公式 乘上 √x +1 即变成 x -1

分母是 ³√x - 1 ,根据立方差公式

乘上 (³√x)² + ³√x +1 即变成 x -1

故本题只需分子分母同乘以 (√x +1)[(³√x)² + ³√x +1]

化简得：

原式 = lim<x→1> [(³√x)² + ³√x +1] / (√x +1) = 3/2

2、换元

本题令 t= x^(1/6)

原式= lim<t→1> (t³ -1) / (t² -1)

= lim<t→1> (t²+t+1) / (t+1) 【因式分解、约分】

= 3/2

扩展资料

极限的求法有很多种：

1、连续初等函数，在定义域范围内求极限，可以将该点直接代入得极限值，因为连续函数的极限值就等于在该点的函数值。

2、利用恒等变形消去零因子（针对于0/0型）。

3、利用无穷大与无穷小的关系求极限。

4、利用无穷小的性质求极限。

5、利用等价无穷小替换求极限，可以将原式化简计算。

6、利用两个极限存在准则，求极限，有的题目也可以考虑用放大缩小，再用夹逼定理的方法求极限。

Answer 2

你好！

这类题目有两种方法：有理化（通用）或者换元（简单）

1、有理化
一般是利用平方差、立方差公式

比如本题，分子是 √x - 1
根据平方差公式 乘上 √x +1 即变成 x -1
分母是 ³√x - 1 ,根据立方差公式
乘上 (³√x)² + ³√x +1 即变成 x -1
故本题只需分子分母同乘以 (√x +1)[(³√x)² + ³√x +1]
化简得：
原式 = lim<x→1> [(³√x)² + ³√x +1] / (√x +1) = 3/2

2、换元
本题令 t= x^(1/6)
原式= lim<t→1> (t³ -1) / (t² -1)
= lim<t→1> (t²+t+1) / (t+1) 【因式分解、约分】
= 3/2

显然本题用换元法稍简单一些。
但是大多数时候换元法是用不上的
例如 lim<x→∞> [ √(x²+x) - x ] 没法换元。
但根据平方差公式有理化如下：
原式= lim<x→∞> [√(x²+x) - x] [√(x²+x) + x] / [√(x²+x) + x]
= lim<x→∞> x / [√(x²+x) + x]
=lim<x→∞> 1/[√(1+ 1/x) +1] 【分子分母同除以x】
= 1/2

所以有理化是解决此类题目的通法，一定要掌握。
如果还有疑问欢迎追问o(∩_∩)o

Answer 3

分子x^(1/2)-1乘x^(1/2)+1=x-1用的是公式a^2-b^2=(a+b)(a-b)
同理，分母x^(1/3)-1乘x^2-x+1=x-1用的是公式a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)，其中a= x^(1/3)，b=1
本题的方法是分子分母同乘x^(1/2)+1及a^2+ab+b^2，则分子分母同时有理化