几道微积分题

Question

求解下列微分方程
1.xy'=y ln（y/x）
2.xy‘-y=x tan（y/x）
3.xy’+y=x^2+3x+2
4.(y^2-6x)y'+2y=0
5.xy'-[1/(1+x)]y=x,y(x=1)=1
6.设f(x)-(微分符号下面0上面x)f(t)dt=x,求f(x)

Answer 1

解：1.∵xy'=yln(y/x) ==>y'=(y/x)ln(y/x)
==>xt'+t=tlnt (令y=xt)
==>dt/[t(lnt-1)]=dx/x
==>d(lnt-1)/(lnt-1)=dx/x
==>ln│lnt-1│=ln│x│+ln│C│ (C是积分常数)
==>lnt-1=Cx
==>lnt=Cx+1
==>t=e^(Cx+1)
==>y/x=e^(Cx+1)
∴原方程的通解是y=xe^(Cx+1)；
2.∵xy'-y=xtan(y/x) ==>y'-(y/x)=tan(y/x)
==>xt'+t-t=tant (令y=xt)
==>xt'=tant
==>costdt/sint=dx/x
==>ln│sint│=ln│x│+ln│C (C是积分常数)
==>sint=Cx
==>t=arcsin(Cx)
∴原方程的通解是y=x*arcsin(Cx)；
3.∵xy'+y=x²+3x+2 ==>(xy)'=x²+3x+2
==>xy=x³/3+3x²/2+2x+C (C是积分常数)
∴原方程的通解是xy=x³/3+3x²/2+2x+C；
4.∵(y²-6x)y'+2y=0 ==>2ydx/dy=6x-y²........(1)
又应用分离变量法，可求出2ydx/dy=6x的通解是x=Cy³ (C是积分常数)
∴应用常数变易法，设方程(1)的解是x=C(y)y³ (C(y)表示关于y的函数)
∵把它代入方程(1)，得2y(y³C'(y)+3y²C(y))=6y³C(y)-y²
==>C'(y)=-1/(2y²)
==>C(y)=1/(2y)+C (C是积分常数)
∴方程(1)的通解是x=(1/(2y)+C)y³=y²/2+Cy³
故原方程的通解是x=(1/(2y)+C)y³=y²/2+Cy³ (C是积分常数)；
5.∵应用分离变量法，可求出xy'-[1/(1+x)]y=0的通解是y=Cx/(1+x) (C是积分常数)
∴应用常数变易法，设原方程的解是y=C(x)x/(1+x) (C(x)表示关于x的函数)
∵把它代入原方程，得xC'(x)/(1+x)=x
==>C'(x)=x+1
==>C(x)=x²/2+x+C (C是积分常数)
∴原方程的通解是y=(x²/2+x+C)x/(1+x)
∵y(x=1)=1 ==>C=1/2
∴原方程满足y(x=1)=1的解是y=(x²/2+x+1/2)x/(1+x)=x(1+x)/2；
6.∵f(x)-∫<0,x>f(t)dt=x ==>f'(x)-f(x)=1 (等式两端对x求导)
==>f'(x)=f(x)+1
==>d(f(x))/(f(x)+1)=dx
==>ln│f(x)+1│=x+ln│C│ (C是积分常数)
==>f(x)+1=Ce^x
∴f(x)=Ce^x-1 (C是积分常数)。

Answer 2

解：1.∵xy'=yln(y/x) ==>y'=(y/x)ln(y/x)
==>xt'+t=tlnt (令y=xt)
==>dt/[t(lnt-1)]=dx/x
==>d(lnt-1)/(lnt-1)=dx/x
==>ln│lnt-1│=ln│x│+ln│C│ (C是积分常数)
==>lnt-1=Cx
==>lnt=Cx+1
==>t=e^(Cx+1)
==>y/x=e^(Cx+1)
∴原方程的通解是y=xe^(Cx+1)；
2.∵xy'-y=xtan(y/x) ==>y'-(y/x)=tan(y/x)
==>xt'+t-t=tant (令y=xt)
==>xt'=tant
==>costdt/sint=dx/x
==>ln│sint│=ln│x│+ln│C (C是积分常数)
==>sint=Cx
==>t=arcsin(Cx)
∴原方程的通解是y=x*arcsin(Cx)；
3.∵xy'+y=x²+3x+2 ==>(xy)'=x²+3x+2
==>xy=x³/3+3x²/2+2x+C (C是积分常数)
∴原方程的通解是xy=x³/3+3x²/2+2x+C；
4.∵(y²-6x)y'+2y=0 ==>2ydx/dy=6x-y²........(1)
又应用分离变量法，可求出2ydx/dy=6x的通解是x=Cy³ (C是积分常数)
∴应用常数变易法，设方程(1)的解是x=C(y)y³ (C(y)表示关于y的函数)
∵把它代入方程(1)，得2y(y³C'(y)+3y²C(y))=6y³C(y)-y²
==>C'(y)=-1/(2y²)
==>C(y)=1/(2y)+C (C是积分常数)
∴方程(1)的通解是x=(1/(2y)+C)y³=y²/2+Cy³
故原方程的通解是x=(1/(2y)+C)y³=y²/2+Cy³ (C是积分常数)；
5.∵应用分离变量法，可求出xy'-[1/(1+x)]y=0的通解是y=Cx/(1+x) (C是积分常数)
∴应用常数变易法，设原方程的解是y=C(x)x/(1+x) (C(x)表示关于x的函数)
∵把它代入原方程，得xC'(x)/(1+x)=x
==>C'(x)=x+1
==>C(x)=x²/2+x+C (C是积分常数)
∴原方程的通解是y=(x²/2+x+C)x/(1+x)
∵y(x=1)=1 ==>C=1/2
∴原方程满足y(x=1)=1的解是y=(x²/2+x+1/2)x/(1+x)=x(1+x)/2；
6.∵f(x)-∫<0,x>f(t)dt=x ==>f'(x)-f(x)=1 (等式两端对x求导)
==>f'(x)=f(x)+1
==>d(f(x))/(f(x)+1)=dx
==>ln│f(x)+1│=x+ln│C│ (C是积分常数)
==>f(x)+1=Ce^x
∴f(x)=Ce^x-1 (C是积分常数)。
第二种方法
1.xy'=y ln（y/x）
y=xu, y'=xu'+u
xu'+u=ulnu
du/(ulnu-u)=dx/x
ln|x|+C0=ln|(lnu-1)|
C1|x|=|lnu-1|
通解C1|x|=|ln(|y/x|-1)|

2.xy'-y=x tan（y/x）
xdy-ydx=xtan(y/x)dx
(xdy-ydx)/x^2=tan(y/x)dx/x
d(y/x)=tan(y/x)dx/x
cot(y/x)d(y/x)=dx/x
通解ln|sin(y/x)|=ln|x|+C

3.xy'+y=x^2+3x+2
(xy)'=x^2+3x+2
dxy=(x^2+3x+2)dx
通解 xy=(1/3)x^3+(3/2)x^2+2x+C

4.(y^2-6x)y'+2y=0
(y^2-6x)dy+2ydx=0
x/y=u x=ydu+udy
(y^2-6yu)dy+2y(ydu+udy)=0
y^2dy-4yudy+2y^2du=0
y^2dy=4yudy-2y^2du
y^2dy=ud(2y^2)-(2y^2)du
dy/4y^2=[ud(2y^2)/4y^4-du/(2y^2)]
(1/4)(1/y)+C=u/2y^2
通解 (1/4)(1/y)+C=x/(2y^3)

5.xy'-[1/(1+x)]y=x,y(x=1)=1

6.设f(x)-(微分符号下面0上面x)f(t)dt=x,求f(x)
∫[0,x]f(t)dt=x

Answer 3

1.xy'=y ln（y/x）
y=xu, y'=xu'+u
xu'+u=ulnu
du/(ulnu-u)=dx/x
ln|x|+C0=ln|(lnu-1)|
C1|x|=|lnu-1|
通解C1|x|=|ln(|y/x|-1)|

2.xy'-y=x tan（y/x）
xdy-ydx=xtan(y/x)dx
(xdy-ydx)/x^2=tan(y/x)dx/x
d(y/x)=tan(y/x)dx/x
cot(y/x)d(y/x)=dx/x
通解ln|sin(y/x)|=ln|x|+C

3.xy'+y=x^2+3x+2
(xy)'=x^2+3x+2
dxy=(x^2+3x+2)dx
通解 xy=(1/3)x^3+(3/2)x^2+2x+C

4.(y^2-6x)y'+2y=0
(y^2-6x)dy+2ydx=0
x/y=u x=ydu+udy
(y^2-6yu)dy+2y(ydu+udy)=0
y^2dy-4yudy+2y^2du=0
y^2dy=4yudy-2y^2du
y^2dy=ud(2y^2)-(2y^2)du
dy/4y^2=[ud(2y^2)/4y^4-du/(2y^2)]
(1/4)(1/y)+C=u/2y^2
通解 (1/4)(1/y)+C=x/(2y^3)

5.xy'-[1/(1+x)]y=x,y(x=1)=1

6.设f(x)-(微分符号下面0上面x)f(t)dt=x,求f(x)
∫[0,x]f(t)dt=x

Answer 4

bu hui