二阶导数的定义:当y为函数时,y''=d(dy)÷(dx)²,
所以d(dy)=y''×(dx)²。
现在我们要求d(dx),且x为自变量。为了使用上面的公式,设函数y等于自变量x,即y=x,则y'=(x)'=1,y''=(1)'=0,所以d(dy)=y''×(dx)²=0×(dx)²=0×(△x)²=0。于是,d(dx)=0。
微分运算比乘方运算优先级更高,所以(dx)²还可以写作dx²,其意义是(△x)²,也就是x的改变量的平方。d(dy)通常写作d²y。
如果想要先算乘方,再算微分,可以使用小括号改变运算顺序。例如,d(x²)=2xdx,其意义为“函数y=x²在x处的改变量的近似值等于x的改变量乘上x初值的两倍”。x的初值记为x,x的改变量记为△x(或dx),x改变后的值记为x+△x。y的改变量的近似值记为dy,y的改变量的准确值记为△y。
函数y=x²在x=4处有增量dx=△x=2,则y的改变量的近似值dy=2×4×2=16,y的改变量的准确值△y=(4+2)²-4²=36-16=20。定积分运算可以根据近似值求准确值,这里∫(上限6下限4)2xdx就等于准确值20。准确值=近似值+比x的改变量值更高阶的无穷小值。
不定积分是微分的逆运算,不是求导的逆运算。因为d(x²+C)=2xdx,所以∫2xdx=x²+C。
因为找不到函数使d(?)=2,所以∫2无意义。
lim(△x→0)△y/△x=dy/dx,意思是说,当x的改变量趋于0时y的改变量的准确值除以x的改变量得到的商的极限值,等于任何情况下(dx为任意非零值)y的改变量的近似值除以x的改变量得到的商。dx=△x可以理解为自变量的改变量的近似值就等于自变量的改变量的准确值。
d(dx)=0,而反过来∫0=C(常数),这说明x的改变量dx其实是一个与x无关的常数,就像d(3)=0,d(4)=0一样。因此,∫2x(dx)²中的2和其中一个dx可以视作常数提到不定积分号外面来,∫2x(dx)²=2dx∫xdx=2dx∫d(x²/2)=dx∫d(x²)=dx·x²=x²dx。
d(dy)表示 函数y的改变量的近似值 的改变量的近似值,也就是说d²y≈△dy。
d(dx)表示 自变量x的改变量的改变量,x的改变量是△x,△x本身没有改变量,所以d²x=△△x=0。
(dx)²表示 自变量x的改变量 的平方,也就是(dx)²=(△x)²。
我们知道,当速度是常数时,路程(位移的改变量)= 速度 × 时间,也就是s=vt。如果v不是常数,而是随时间t变化,即v=v(t),那么初速度 × 时间得到的积就不等于路程的准确值,而是路程的近似值,也就是vdt=ds。其中v是初速度,dt是经过的时间(时间的改变量),ds是路程的近似值(位移的改变量的近似值)。
同理,当加速度是常数时,速度 = 加速度 × 时间。如果加速度不是常数而随时间变化,则初加速度 × 时间(adt)得到的是速度的近似值(dv)。路程又等于速度×时间,把刚才算出来的速度的近似值dv代入这个公式,dv乘上dt,得到的则是路程的近似值的近似值d²s=a(dt)²!d²s=d(ds)约等于路程的近似值的准确值△ds,但近似值的准确值△ds与准确值的准确值△△s还是有差距的。计算两次定积分,可以根据近似值的近似值,求出准确值的准确值。
如果加速度a=6t,则v=3t²,s=t³,且ds=3t²dt。如果ds里面的t有增量△t,那么会导致ds也产生增量△ds,且ds+△ds=3(t+△t)²dt(注意只有t有增量,dt是没有增量的哦,这也说明了自变量的二阶微分等于0)=3[t²+2t△t+(△t)²]dt=3t²dt+6t△tdt+3(△t)²dt,△ds=6t△tdt+3(△t)²dt。其中△ds的线性部分为6t△tdt=6tdt·dt=6t(dt)²,高阶无穷小部分为3(△t)²dt。△ds的线性部分记为d²s,△ds≈d²s,即:d²s是 s的改变量的近似值(ds) 的改变量的近似值。由于a=6t,所以d²s=a(dt)²。要计算出路程的准确值的准确值,需要进行两次积分:∫d²s=∫a(dt)²(其中a=6t)得到ds=3t²dt,然后∫ds=∫3t²dt得到s=t³。
如何理解导数中的「微分」?怎么用?
如果想要先算乘方,再算微分,可以使用小括号改变运算顺序。例如,d(x²)=2xdx,其意义为“函数y=x²在x处的改变量的近似值等于x的改变量乘上x初值的两倍”。x的初值记为x,x的改变量记为△x(或dx),x改变后的值记为x+△x。y的改变量的近似值记为dy,y的改变量的准确值记为...
导数的记号为什么叫微分?
微分公式如图所示,公式描述:公式中f'(x)为f(x)的导数。微分公式的定义 设函数y = f(x)在x的邻域内有定义,x及x + Δx在此区间内。如果函数的增量Δy = f(x + Δx) - f(x)可表示为 Δy = AΔx + o(Δx)(其中A是不随Δx改变的常量,但A可以随x改变),而o(Δx)是比Δ...
如何理解导数与微分的关系?
1、法线 我们知道,曲线上一点的法线和那一点的切线互相垂直,微分可以求出切线的斜率,自然也可以求出法线的斜率。假设函数y=f(x)的图象为曲线,且曲线上有一点(x1,y1),那么根据切线斜率的求法,就可以得出该点切线的斜率m:m=dy\/dx在(x1,y1)的值所以该切线的方程式为:y-y1=m(x-x1)由于法...
导数微分究竟有什么用?
导数这个东西,在物理里至少有两个用处:一个是「描述变化」,一个是「做近似」。而微分在数学中的定义:由函数B=f(A),得到A、B两个数集,在A中当dx靠近自己时,函数在dx处的极限叫作函数在dx处的微分,微分的中心思想是无穷分割。微分是函数改变量的线性主要部分。微积分的基本概念之一。导数描...
微分是什么?有什么用?
高数里的定义是当dx靠近自己时,函数在dx处的极限,叫作函数在dx处的微分。y=f(x)的微分又可记作dy=f'(x)dx。即函数因变量的微分与自变量的微分之商等于该函数的导数,实际上就理解微分是导数再乘以dx即可。通常把自变量x的增量 Δx称为自变量的微分,记作dx,即dx = Δx。于是函数y = f(...
如何理解导数的微分、偏导数和二阶偏导数的定义?
1、微分次数不同 d2x和dx²都是一次微分,而d²x是两次微分 2、微分变量不同 d2x的微分变量是2x,dx²的微分变量是x²,d²x的微分变量是x 下面具体讲解一下三者的定义:dx表示x变化无限小的量,其中d表示“微分”,是“derivative(导数)”的第一个字母。所以将2x看成...
导数微分及其应用导数的概念
导数,也叫导函数值。又名微商,是微积分中的重要基础概念。当函数y=f(x)的自变量x在一点x0上产生一个增量Δx时,函数输出值的增量Δy与自变量增量Δx的比值在Δx趋于0时的极限a如果存在,a即为在x0处的导数,记作f'(x0)或df(x0)\/dx。3微分 微分在数学中的定义:由函数B=f(A),...
怎么理解微分和导数的区别
对于简单的线性函数y=x,我们有dy=dx=Δx,因此dy=f'(x)*dx。通过这个表达式,我们可以看出f'(x)=dy\/dx。这说明,导数实际上就是微商,即微分的变化率。以前学习导数时,我们只把它看作是导数的符号,而没有深入理解它所代表的意义。现在,我们可以将其视为一种运算。在这种运算中,dy\/dx不仅...
微分是什么意思,微分是导数的意思吗?
函数在某点处的微分是:【微分 = 导数 乘以 dx】,也就是,dy = f'(x) dx。不过,我们的微积分教材上,经常出现 dy = f'(x) Δx 这种乱七八糟的写法,更会有一大段利令智昏的解释。Δx 差值,是增值,是增量,是有限的值,是有限的小,但不是无穷小;f'(x) Δx 因此也就是有限...
如何理解函数的微分?
1. 微分的定义:函数y = f(x)的微分表示为dy = f'(x)dx。微分实际上是求函数的导数,即求函数f(x)的瞬时变化率。2. 导数与微分的关系:导数f'(x)表示函数f(x)在x点处的斜率,而微分dy则表示函数在x点处变化的无穷小量。3. 积分与微分的关系:积分是微分的逆运算。如果我们知道一个...