15个相同的球放入5个不同的盒子里，要求5个盒中的球数各不相同，可以有空盒，共有几种不同放法。

Answer 1

分类讨论：
1. 15个球放入同一个盒子，那么这样的不同放法有5种；
2. 15个球分成两组，共有7种不同的分组方法（注：1+14，2+13，3+12，...，7+8），然后分别放入其中两个盒子，不同的放法有7*A(5,2)=140种；
3. 15个球分成球数不同的三组，共有12种不同的分组方法（注：1+2+12，1+3+11，1+4+10，1+5+9，1+6+8，2+3+10，2+4+9，2+5+8，2+6+7，3+4+8，3+5+7，4+5+6），然后分别放入其中三个盒子，不同的放法有12*A(5,3)=720种；
4. 15个球分成球数不同的四组，共有6种不同的分组方法（注：1+2+3+9，1+2+4+8，1+2+5+7，1+3+4+7，1+3+5+6，2+3+4+6），然后分别放入其中四个盒子，不同的放法有6*A(5,4)=720种；
5. 15个球分成球数不同的五组，只有1种不同的分组方法（注：1+2+3+4+5），然后分别放入其中五个盒子，不同的放法有A(5,5)=120种；
所以综上述共有5+140+720+720+120＝1705种不同的放法。

追问

可是答案是840种啊，不知怎么求的？谢谢！再给想想啊！

追答

哦，题意领会错了！因为要求5个盒中的球数各不相同！！！！
重新答题如下：
分两类讨论：
1. 15个球分成球数不同的四组，共有6种不同的分组方法（注：1+2+3+9，1+2+4+8，1+2+5+7，1+3+4+7，1+3+5+6，2+3+4+6），然后分别放入其中四个盒子，不同的放法有6*A(5,4)=720种；
2. 15个球分成球数不同的五组，只有1种不同的分组方法（注：1+2+3+4+5），然后分别放入其中五个盒子，不同的放法有A(5,5)=120种；
所以综上述共有720+120＝840种不同的放法。

追问

按您的方法，做了11个相同球放入4个不同盒子内，且4个盒子各不相同，允许有空盒，答案是144，但我就做不对了，为什么啊？麻烦您再给讲讲。多谢

追答

如果是11个球放入4个不同盒里，且允许有空盒，那么应该也分为两大类：
第1类. 有且只有一个盒子是空的，11个球分成球数不同的三组，有5种不同的分组方法（注：1+2+8，1+3+7，1+4+6，2+3+6，2+4+5），然后分别放入其中三个盒子，不同的放法有5×A(4,3)=120种；
第2类. 每个盒子都不空，11个球分成球数不同的四组，共有1种不同的分组方法（注：1+2+3+5），然后分别放入其中四个盒子，不同的放法有A(4,4)=24种；
综上述，不同的放法共有120+24＝144种。