高一的物理向心加速度公式证明

Answer 1

这是要用到矢量的。

如图甲，一质点绕O点做匀速圆周运动，A点到B点的切线，即线速度Va和Vb，其大小相等。则向心加速度a就是由Vb到Va线速度的单位变化矢量。方法：如图乙，平移矢量Va，使其起点与B点重合，则矢量△V=矢量Vb－矢量Va（即转过某一弧度时线速度的改变量），设矢量Va与Vb的夹角θ就是质点做匀速圆周运动所转过的角（用弧度制表示）。 　　

又如图丁（圆O的一部分，即扇形，OQ=OP=r，同时有弦PQ和弧PQ），设θ为OQ与OP夹角的弧度数（其实是数学上这个角对应的弧长与圆半径的比值，即弧PQ ：半径r的值，如一弧度≈57.3°）那么我们知道 X·Y/X=Y，则弧PQ的长度可以表示为“半径r·弧PQ/半径r”即弧长=半径×对应弧度。 当夹角θ很小很小时，可近似认为弧PQ=弦PQ，也就是说弯曲的弧长与笔直的线段长度几乎一样，这就为后面的求△V提供了依据。 　　

回到图乙，如图当OB,OA之间的夹角（等于Vb与Va的夹角）很小很小时，那么对应的△V就很小很小了，并且以B为顶点，母线长为Va（或Vb）的扇形中由A点到B点所扫过的弧△V就可近似等于弦△V，即根据图丁作介绍的，若把图丁中的半径r看做线速度Va（或Vb），弧长=半径×对应弧度（也就是先前的V=ω·r）用在图乙中就是弧△V=△V=线速度（视为半径r）×弧度θ（弧△V与可视为圆半径r的线速度Va或Vb的比值） 　　

而当△V这个量小到单位时（即一秒钟内△V的量），那么这个△V就是我们所说的向心加速度a，向心加速度a=△V/△t，而弧△V=弦△V，所以向心加速度a=弧△V/△t。 　　

首先弧度θ是质点经过某一时间（△t）做圆周运动所转过的角度的弧度数，则角速度ω=θ/△t，表示一秒钟内转过的弧度数，即弧度θ=ω·△t，① 并且△V=弧△V=向心加速度a×△t。② 　　

再根据弧长=半径×对应弧度，弧△V=△V=线速度V×弧度θ（如图丙，当θ小到一定程度时，弧△V=△V，小到单位弧度时就存在这样的关系）再根据①②两式，得出向心加速度a×△t=线速度V（这个矢量的大小始终不变）×角速度ω·△t，同时除去等式左右的△t，于是最终化简为： 　　向心加速度a=线速度V×角速度ω，即a(n)=ω·V，还有a(n)=ω2·r，a(n)=V2/r等等 都是根据此式以及V=ω·r推理出来的。

Answer 2

向心力公式F=mv^2/r
又牛顿第二定律F=ma
所以ma=mv^2/r
a=v^2/r

Answer 3

这个公式的证明，是要结合速度变化的图来说才容易理解。在这不方便说，若需要，可留下邮箱，弄个word文档发给你。