利用重积分的有关知识，求由坐标平面、面X=2、面Y=3、面X+Y+Z=4所围成的角柱体的体积。

Question

利用重积分的有关知识，求由坐标平面、面X=2、面Y=3、面X+Y+Z=4所围成的角柱体的体积。如图，谢啦！

Answer 1

用二重积分，先定义在XOY平面的投影区域σ，

第一部分是一个矩形区域（绿色区域），

0≤x≤2,

0≤y≤2,

0≤z≤4-x-y

第二部分是一个梯形区域（橙色区域），梯形的腰不是固定值，

2≤y≤3

2≤x≤4-y,

0≤z≤4-x-y,

V= ∫ [σ]∫（4-x-y)

=∫[0，2]dx ∫ [0，2] （4-x-y)dy+∫[2，3]dy ∫ [0，4-y] （4-x-y)dx

=∫[0，2]dx  [0，2] (4y-xy-y^2/2)+∫[2，3]dy  [0，4-y] (4x-x^2/2-xy)

=∫[0，2] (8-2x-2)dx+∫[2，3](8-4y+y^2/2)dy  

=(6x-x^2([0,2]+(8y-2y^2+y^3/6)[2,3]

=(12-4)+(24-18+9/2-16+8-4/3)

=8+7/6

=55/6. 

可用立体几何验证结果，

整个大三棱锥体积：（4*4/2）*4/3=32/3。

两个小棱锥体积：（2*2/2）*2/3=4/3，

（1*1/2）*1/3=1/6，

V=32/3-4/3-1/6=55/6。