高斯公式如何推导

Question

从n‘/s'-n/s=(n'-n)/r这个物象公式和物，象方焦距推导高斯公式

Answer 1

高斯公式，又称为散度定理、高斯散度定理、高斯－奥斯特罗格拉德斯基公式或高－奥公式，是指在向量分析中，一个把向量场通过曲面的流动（即通量）与曲面内部的向量场的表现联系起来的定理。
更加精确地说，高斯公式说明向量场穿过曲面的通量，等于曲面内部区域的散度的三重积分。直观地，所有源点的和减去所有汇点的和，就是流出一个区域的流量。
高斯公式在工程数学中是一个很重要的结果，特别是静电学和流体力学。
目录 [隐藏] 1 定理2 用散度表示3 用向量表示4 推论5 例子6 二阶张量的高斯公式7 参阅
[编辑]定理
设空间闭区域Ω是由分片光滑的闭曲面Σ所围成，函数P(x,y,z)、Q(x,y,z)、R(x,y,z)在Ω上具有一阶连续偏导数，则有
或
这里Σ是Ω的整个边界曲面的外侧，cos α、cos β、cos γ是Σ在点(x,y,z)处的法向量的方向余弦
这两个公式叫做高斯公式。
[编辑]用散度表示
高斯公式用散度表示为：
其中Σ是空间闭区域Ω的边界曲面，而
n是向量A在曲面Σ的外侧法向量上的投影。
[编辑]用向量表示
令V代表有一间单闭曲面S为边界的体积，是定义在V中和S上连续可微的矢量场。如果是外法向矢量面元，则
[编辑]推论
对于标量函数g和向量场F的积，应用高斯公式可得：
对于两个向量场的向量积，应用高斯公式可得：
对于标量函数f和非零常向量的积，应用高斯公式可得：
对于向量场F和非零常向量的向量积，应用高斯公式可得：
[编辑]例子
假设我们想要计算
其中S是由所定义的单位球，F是向量场
直接计算这个积分是相当困难的，但我们可以用高斯公式来把它简化：
由于函数和是奇函数，我们有：
因此：
[编辑]二阶张量的高斯公式
二阶张量的高斯公式实际上是上面的高斯公式的推论。为了使内容完整，首先简要地介绍三维欧几里得空间上的二阶张量（详见并矢张量或张量积）以及相关的概念和记号。在这里，矢量和矢量场用黑斜体字母表示，张量用正黑体字母表示。
两个矢量 和 并排放在一起所形成的量 被称为矢量 和 的并矢或并矢张量。要注意，一般来说，。
的充分必要条件是 或 。
二阶张量就是有限个并矢的线性组合。
分别线性地依赖于 和 。
二阶张量 和矢量 的缩并 以及 对 和 都是线性的。
特别是，当 时，
所以，一般说来，。
下面举一个例子：用二阶张量及其与矢量的缩并来重新写 和 。
我们还用到二阶张量 的转置 （又可以记为 ），定义如下：
仍然是一个二阶张量，并且线性地依赖于 。
。
定理： 设 是三维欧几里得空间中的一个有限区域， 是它的边界曲面， 是 的外法线方向上的单位矢量， 是定义在 的某个开邻域上的 连续的二阶张量场， 是 的转置，则
证明：下面以第二个式子为例进行证明。令第二个式子的左边为 ，则
接下来利用矢量场的高斯公式，可得
于是
至此证毕

看不懂。。。。。。。。。。
。

Answer 2

建议上维基百科上面有详细过程

追问

能帮我复制吗，谢谢