设a、b∈R+，且a+b=1，求根号下（a+1/2）+根号下（b+1/2）的最大值。

Question

详细过程！谢谢。

Answer 1

解：对于a、b∈R+，有一个不等式组：
√[(a^2+b^2)/2]>=(a+b)/2>=√(ab)>=2/[(1/a)+(1/b)]，当且仅当a=b时取等号。
这个不等式组课堂上或者练习题中有见过吧？这个是应该要求记住的一个公式！我读书的时候就要求记住了的，它非常重要，在很多不等式证明题中都会由这个基础出发而得证。上面这个不等式组的证明利用a^2+b^2>=2ab就可以一个一个的证明出来的。
我们取前面第一个不等式，即：√[(a^2+b^2)/2]>=(a+b)/2，
变形一下可得到：a+b<=(√2)*√(a^2+b^2)，
再变形一下可得到：√a+√b<=(√2)*√(a+b)， ----->这一步没问题吧？ -----（1）
（1）式成立的前提是a和b都为正数，取等号的前提是a=b。
现在用在本题中就简单了！以下解之：
因为√(a+1/2)和√(b+1/2)都为正数，
所以由（1）式可得：√(a+1/2)+√(b+1/2)<=(√2)*√{[√(a+1/2)]^2+[√(b+1/2)]^2}
=(√2)*√[(a+1/2)+(b+1/2)]
=(√2)*√(a+b+1)=2
当且仅当√(a+1/2)=√(b+1/2)，且a+b=1，即a=b=1/2时取等号。
所以：√(a+1/2)+√(b+1/2)的最大值为2，此时a=b=1。

上述不等式组证明的问题如有不懂欢迎追问。

Answer 2

a=1-b
设(√3/2-b)+（√1/2+b）=y √3/2-b=x √1/2+b=z
∴x+z=y
x^2+z^2=2
x=y-z
(Y-Z)^2+Z^2=2
2z^2-2yz+y^2-2=0
Δ=4y^2-8y^2+16≥0
-y^2+4≥0
-2≤y≤2
∴最大为2