哈密尔顿算符，拉普拉斯算子，梯度和散度

Question

求大神帮忙梳理下哈密尔顿算符，拉普拉斯算子，梯度还有散度的关系，我查资料看到哈密尔顿算符乘上一个标量函数就是梯度，点乘一个矢量是散度，但是拉普拉斯算子表示的是梯度的散度，而且是哈密尔顿算符的二阶，那是不是 就是散度就是梯度二阶？梯度应该也是个矢量场了吧？标量乘上哈密尔顿算符算完梯度，再点乘一个哈密尔顿算符就是散度了？小弟转的专业，跨度有点大…所以这些基础知识很差，跪求大神帮忙

Answer 1

哈密顿算符的谱为测量系统总能时所有可能结果的集合。如同其他自伴算符，哈密顿算符的谱可以透过谱测度被分解，成为纯点、绝对连续、奇点三种部分。

拉普拉斯算子是n维欧几里德空间中的一个二阶微分算子，定义为梯度（▽f）的散度（▽·f）。因此如果f是二阶可微的实函数，则f的拉普拉斯算子定义为：

扩展资料

哈密顿算符产生了量子态的时间演化。若为在时间 t 的系统状态，其中为约化普朗克常数。此方程为薛定谔方程。（其与哈密顿-雅可比方程具有相同形式，也因为此，H 冠有哈密顿之名。）

若给定系统在某一初始时间（t = 0）的状态，我们可以积分得到接下来任何时间的系统状态。其中特别的是，若 H 与时间无关，则定态解形式不变。

参考资料来源：百度百科-哈密顿算符

参考资料来源：百度百科-拉普拉斯算子

Answer 2

原来如此，多谢楼主我明白了。散度▽·和旋度▽×只能代入一个矢量，梯度▽只能代入一个标量。而旋度代入一个矢量得到的还是矢量，方向定义为逆时针右手螺旋。散度代入矢量会得到一个标量，梯度代入一个一个标量会得到一个矢量。那么拉普拉斯算符就真的是△A=▽·▽A，也就是梯度的散度，对一个标量求梯度使它变成矢量，再对得到的矢量求散度使它变成标量。
而一个矢量是同时包含位置和方向信息的，B=Bx*i+By*j+Bz*k，ijk通常写作e加个下标叫做单位矢量，就是一个方向的矢量。而Bx别看下标有个x，里面可以是同时包含x、y、z三个变量组成的函数，表示的是位置信息，Bx本身就相当于一个标量，散度▽·B就是分别对Bx、By、Bz，三个标量∂/∂x、∂/∂y、∂/∂z再相加。如果这里是梯度，B是个矢量不能求梯度，但Bx是个标量可以求梯度呀，▽Bx就是分别对Bx、Bx、Bx，三个相同的标量∂/∂x、∂/∂y、∂/∂z再相加。
e的长度和变矢量的关系待知，例如极坐标系eθ这个方向随位置变化(绕圈)的变矢量，本质上就是不知多小的弧度对应的那段长度为1的弧长，eθ相当于r*dθ。常数无论对什么求偏导必定是0，因为定义lin△x→0[f(x+△x)-f(x)]/△x分母只是趋近于0而分子就是0，常矢量求偏导也必定是0，但具体怎么证明不知道，只是从物理意义上来看，微分是在求变化趋势，而常矢量不随位置变化。单位矢量长度都是1，微分时只要考虑方向就行了，∂/∂θ代表角度的变化，eθ方向是随角度θ变化的，所以∂eθ/∂θ不是0，er方向也随着角度θ变化，所以也不是0。∂/∂r代表随r的长度的变化，r的长度不影响θ的方向，也不影响r的方向，∂er/∂r=0。单位矢量微分时，随位置(位置就是xyz嘛)改变的矢量，就相当于xyz的函数呀，天然要用换元法计算。具体是多少要换成全是常矢量的直角坐标考虑，因为常矢量不会随位置改变。对x=r*cosθ和y=r*sinθ两边求导后两式联立，可得r*dθ=cosθdy-sinθdx，把dxdy当常量对右边θ求导得-sinθdy-cosθdx，而dr刚好就是cosθdx+sinθdy，所以∂eθ/∂θ就是-dr相当于-er。同理，就是因为dr和dθ转化成dx和dy时右边包含θ，凡是对θ偏导都不是0，∂er/∂θ=eθ。要注意这里的dr和rdθ都是1是才对应单位矢量，dx和dy就不可能是1，可以通过联立方程解出dx和dy的大小。联立的方程组中左边是dx和dy，dr和rdθ在等式右边的情况和dr和rdθ在左边的情况大小是不同的，这就是偏微分没有左右取倒数结果不变这一条的原因。(这点不知道想的对不对？)

Answer 3

你说帮你梳理，可是你自己讲得很清楚了啊，没有任何错误。你还有什么地方不懂呢？