已知a、b、c为R+，且a^2+b^2+c^2=1，证明：a/(1-a^2)+b/(1-b^2)+c/(1-c^2)>=(3√3)/2

Answer 1

[a(1-a^2)]^2=1/2*2a^2(1-a^2)(1-a^2)<=1/2*((2a^2+2-2a^2)/3)^3=4/27
所以a/(1-a^2)=a^2/a(1-a^2)>=a^2*(sqrt(4/27) )=a^2(3√3)/2
同样处理其他两个式子，又因为a^2+b^2+c^2=1
所以原式大于(3√3)/2（a^2+b^2+c^2）=(3√3)/2

Answer 2

设f(x) = x(1 - x²) (0 < x < 1)
则f'(x) = 1 - 3x²
可得f(x)在(0, 1 / √3]内递增，在[1 / √3, 1)内递减
∴f(x) ≤ f(1 / √3) = 2 / 3√3
∴f(a) = a(1 - a²) ≤ 2 / 3√3
∴ a / (1 - a²) ≥ 3√3×a² / 2
同理
b / (1 - b²) ≥ 3√3×b² / 2
c / (1 - c²) ≥ 3√3×c² / 2
三式相加既得结论