证明：对任何正整数n，都有1+1/2^2+1/3^2+……1/n^2<2

Answer 1

因为n^2大于n(n-1)，利用这个放缩，把1/n^2放大为1/n(n-1)，所以原式小于1+1/2*1+1/3*2+......+1/n(n-1)，再利用列项求和的方法，1/n(n-1)=(1/n-1)-(1/n)，把所有项都这样写开，发现前后两项可以消掉，最后变为2-1/n，所以小于2得证。

Answer 2

当n=1时，左边=1<2，不等式成立
当n≥2时，n²>n(n-1)
1/n² <1/n(n-1) = 1/(n-1) - 1/n
1+1/2^2+1/3^2+……1/n^2
<1+(1-1/2) + (1/2-1/3) + …… + [1/(n-1) - 1/n]
=1+1-1/n = 2-1/n < 2，不等式也成立
综上，对任何正整数n，都有1+1/2^2+1/3^2+……1/n^2<2

Answer 3

1+1/2^2+1/3^2+……1/n^2
<1+1/(1*2)+1/(2*3)+……+1/((n-1)n)
=1+1-1/2+1/2-1/3+……+1/(n-1)-1/n
=2-1/n
<2