相关系数r的计算公式是什么？

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相关系数r，这个衡量两个变量之间线性关系强度的指标，其计算公式可以用以下表达式表示：ρXY = Cov(X，Y) / √[D(X) * D(Y)]。其中，Cov(X，Y)指的是X和Y的协方差，它反映了两个变量变化时的同步程度，D(X)和D(Y)分别代表X和Y的方差，衡量了各自变量的波动性。

当Y可以表示为X的线性函数，比如Y = a + bX，我们可以利用期望值和方差的定义来简化计算。设E(X) = μ，D(X) = σ，那么E(Y) = a + bμ，D(Y) = b²σ。进一步推导，E(XY) = aμ + b(σ + μ)，而Cov(X，Y) = E(XY) - E(X)E(Y) = bσ。

相关系数r的值范围在-1到1之间，它揭示了变量间的关系类型：

若r为1，表示完全相关，意味着一个变量的增加（或减少）完全决定了另一个变量的相应变化，如同函数一样。
当r介于0到1之间（但不包括1）时，代表不完全相关，表明两个变量存在一定程度的关联，但不是一对一的关系。
如果r为0，说明两个变量之间没有线性关系，即它们的变化是独立的，互不影响。

总之，相关系数r的计算是通过协方差和方差来度量两个变量之间关系强度和方向的关键工具，其不同取值揭示了变量间关系的紧密程度。