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Question

已知a∈R，函数f（x）＝－1/3x的3次方＋1/2ax的2次方＋2ax（x∈R）
1，当a＝1时，求函数f（x）的单调递增区间
2，是否存在实数a，使函数f（x）在R上单调递减？若存在，请求出a的取值范围；若不存在，请说明理由
3，若函数f（x）在［－1，1］上单调递增，求a的取值范围

Answer 1

已知a∈R，函数f（x）＝－1/3x的3次方＋1/2ax的2次方＋2ax（x∈R）
1，当a＝1时，求函数f（x）的单调递增区间
2，是否存在实数a，使函数f（x）在R上单调递减？若存在，请求出a的取值范围；若不存在，请说明理由
3，若函数f（x）在［－1，1］上单调递增，求a的取值范围
(1)解析：∵函数f(x)=-1/3x^3+1/2ax^2+2ax
当a>0时
令f’(x)=-x^2+ax+2a=0==>x1=[a-√(a^2+8a)]/2<0, x2=[a+√(a^2+8a)]/2>0
f’’(x)=-2x+a==> f’’(x1)>0，函数f(x)在x1处取极小值；f’’(x2)<0，函数f(x)在x1处取极大值；
∵a=1==>x1=-1,x2=2
∴当a＝1时，函数f（x）的单调递增区间为[-1,2]
(2)解析：当a=0时，函数f(x)=-1/3x^3，在定义域内单调减；
当a<0时
∵f’(x)=-x^2+ax+2a
⊿=a^2+8a<0
∴f’(x)<0, 函数f(x)在定义域内单调减；
∴当a<=0时，函数f(x)在定义域内单调减；
(3)解析：由(1)知，x1=[a-√(a^2+8a)]/2<=-1==>a>=1
∵a=1时，函数f（x）的单调递增区间为[-1,2]
∴函数f(x)在［-1,1］上单调递增，a的取值范围为a>=1

Answer 2

(1)当a=1时，f(x)=-1/3x^3+1/2x^2+2x
求导F(x)=-x^2+x+2=(-x+2)(x+1) 令F(x)=(-x+2)(x+1) >0 则函数f(x)的单调递增区间为（-1,2）
2)若函数f(x)在R上单调递减
求导F(x)=-x^2+ax+2a 则需令F(x)<0 在R上恒成立 即Δ<0恒成立 解得 a的取值范围（-8,0）
(3)若函数f(x)在[-1,1]上单调递减
求导F(x)=-x^2+ax+2a 则需令F(x)<0 在[-1,1]上恒成立
再分三种情况讨论
解得a的取值范围（-∞，0]

Answer 3

(1)解析：∵函数f(x)=-1/3x^3+1/2ax^2+2ax
当a>0时
令f’(x)=-x^2+ax+2a=0==>x1=[a-√(a^2+8a)]/2<0, x2=[a+√(a^2+8a)]/2>0
f’’(x)=-2x+a==> f’’(x1)>0，函数f(x)在x1处取极小值；f’’(x2)<0，函数f(x)在x1处取极大值；
a=1==>x1=-1,x2=2
当a＝1时，函数f（x）的单调递增区间为[-1,2]
(2)解析：当a=0时，函数f(x)=-1/3x^3，在定义域内单调减；
当a<0时
f’(x)=-x^2+ax+2a
⊿=a^2+8a<0
f’(x)<0, 函数f(x)在定义域内单调减；
当a<=0时，函数f(x)在定义域内单调减；
(3)解析：由(1)知，x1=[a-√(a^2+8a)]/2<=-1=>a>=1
a=1时，函数f（x）的单调递增区间为[-1,2]
函数f(x)在［-1,1］上单调递增，a的取值范围为a>=1 ```