问题．你能很快算出20152的值吗？为了解决这个问题，我们要观察个位上的数字是5的自然数的平方．任意一个

Question

问题．你能很快算出20152的值吗？为了解决这个问题，我们要观察个位上的数字是5的自然数的平方．任意一个个位数字为5的自然数可写成10n+5，即求（10n+5）2的值（n为自然数）．你试分析n=1，n=2，n=3，…，这些简单情况，从中探索规律，并归纳猜想出结论（在下面空格内填上你的探索结果）（1）通过计算，探索规律：152=225可写成100×1×（1+1）+25，252=625可写成100×2×（2+1）+25，352=1225可写成100×3×（3+1）+25，…752=5625可写成______852=7225可写成______（2）依据（1）的结果，归纳猜想得（10n+5）2=______；（3）根据上面的归纳、猜想，请你算出20152=______．

Answer 1

（1）通过计算，探索规律：
∵15²=225可写成100×1×（1+1）+25，25²=625可写成100×2×（2+1）+25，
35²=1225可写成100×3×（3+1）+25，…
∴75²=5625可写成 100×7×（7+1）+25，
85²=7225可写成100×8×（8+1）+25，
故答案为：100×7×（7+1）+25，100×8×（8+1）+25；

（2）依据（1）的结果，归纳猜想得（10n+5）²=100n（n+1）+25，
故答案为100n（n+1）+25；
    
（3）根据上面的归纳、猜想，请你算出2015²=100×201×（201+1）+25=4060225，
故答案为：100×201×（201+1）+25=4060225．