求证：有两边和它们的夹角的平分线对应成比例的两个三角形相似

Question

要有详细步骤（已知、求证、证明）

Answer 1

设△ABC与△DEF中，AB:DE=AC:DF,∠A=∠D。把△DEF放到△ABC中与之重合。因为AB:DE=AC:DF，所以EF//BC。所以两个三角形三个角对应相等，所以两个三角形相似。

Answer 2

从而三角形ABC全等于三角形A`B`C`。 证明: 延长BD至E,过点C作AB的平行线交BD于E ,轻易知道三角形BCE是等腰三角形,CB=CE 可证得三角形CDE相似,

Answer 3

已知：△ABC和△DEF中，G、H分别是BC、EF的中点，且AB/DE＝AC/DF＝AG/AH。
求证：△ABC∽△DEF。
证明：
令AB/DE＝AC/DF＝AG/AH＝k，设∠BAC＝2α、∠EDF＝2β。
则：AB＝kDE、AC＝kDF、AG＝kAH。

由三角形面积公式，有：
S(△ABG)＝（1/2）AB×AGsinα、　S(△ACD)＝（1/2）AC×AGsinα、
S(△ABC)＝（1/2）AB×ACsin2α。
显然有：S(△ABG)＋S(△ACD)＝S(△ABC)，
∴（1/2）AB×AGsinα＋（1/2）AC×AGsinα＝（1/2）AB×ACsin2α，
∴kDE×kDHsinα＋kDF×kAHsinα＝kDE×kDF×2sinαcosα，
∴（DE＋DF）DH＝2DE×DFcosα。······①

再由三角形面积公式，有：
S(△DEF)＝（1/2）DE×DHsinβ、　S(△DFH)＝（1/2）DF×DHsinβ，
S(△DEF)＝（1/2）DE×DFsin2β。
显然有：S(△DEF)＋S(△DFH)＝S(△DEF)，
∴（1/2）DE×DHsinβ＋（1/2）DF×DHsinβ＝（1/2）DE×DFsin2β，
∴（DE＋DF）DHsinβ＝DE×DF×2sinβcosβ，
∴（DE＋DF）DH＝DE×DFcosβ。······②

由①、②，得：cosα＝cosβ，而α、β显然都是锐角，∴α＝β，∴2α＝2β，∴∠BAC＝∠EDF。
∵AB/DE＝AC/DF、∠BAC＝∠EDF，∴△ABC∽△DEF。

追问

sinα???

追答

原答案中第五行：AG＝kAH应该是AG＝kDH。特此更正。

sinα是指α的正弦。估计你还没有学习过三角函数的相关知识，下面从另一角度给出答案。

由三角形内角平分线长的计算公式，有：
AG＝［1/（AB＋AC）］√｛AB×AC［（AB＋AC）^2－BC^2］｝
　 ＝［1/（kDE＋kDF）］√｛kDE×kDF［（kDE＋kDF）^2－BC^2］｝
　 ＝kDH、
DH＝［1/（DE＋DF）］√｛DE×DF［（DE＋DF）^2－EF^2］｝，
∴（1/k）√｛kDE×kDF［（kDE＋kDF）^2－BC^2］｝
＝k√｛DE×DF［（DE＋DF）^2－EF^2］｝，
∴√｛kDE×kDF［（kDE＋kDF）^2－BC^2］｝
＝k^2√｛DE×DF［（DE＋DF）^2－EF^2］｝，
∴kDE×kDF［（kDE＋kDF）^2－BC^2］＝k^4｛DE×DF［（DE＋DF）^2－EF^2］｝，
∴（kDE＋kDF）^2－BC^2＝k^2［（DE＋DF）^2－EF^2］，
∴BC^2＝k^2EF^2， ∴BC＝kEF，　∴BC/EF＝k＝AB/DE＝AC/DF，　∴△ABC∽△DEF。