已知抛物线C:y^2=4x,F是C的焦点，过点F的直线l与C相交于A、B两点。（1）设l的斜率为1，求向量OA和向量OB的

Question

夹角（2）设向量FB=λ向量AF，若λ∈[4,9]求l在y轴上截距的变化范围[（2）要巧算]不要只写思路还写出详细的计算过程

Answer 1

1）由题意，F(1,0)
设直线:x=y+1
y²=4x
x=y+1
y²-4y-4=0
设A(x1,y1)B(x2,y2)
y1+y2=4, y1y2=-4
cos(OA,OB)=OA·OB/|OA||OB|=(x1x2+y1y2)/√(x1^2+y1^2)(x2^2+y2^2)
=(y1y2)^2/16+y1y2/√[(y1y2)^4/16^2+(y1y2)^2+(y1y2)^2*(y1^2+y2^2)/16]=-3/√41=-3√41/41
∴向量OA和向量OB的夹角为arccos(-3√41/41)
2)向量FB=λ向量AF
由定点分点公式
1=(x2+λx1)/(1+λ)
0=(y2+λy1)/(1+λ)
y2=-λy1 => y1=-y2/λ
1+λ=y2^2/4+λy1^/4=(1+1/λ)y2^2/4
y2^2=4λ
λ∈[4,9]
∴y2=2√λ
k=|b|/1=y2/(x2-1)
|b|=4y2/(y2^2-4)=4/(y2-4/y2)=2/(√λ-1/√λ)
√λ-1/√λ单调递减
∴2/(√9-1/√9)≤2/(√λ-1/√λ)≤2/(√4-1/√4)
3/4≤|b|≤4/3
截距的变化范围[-4/3,-3/4]∪[3/4,4/3]