那么存在a∈R，a不等于0，且a不可逆，于是aR不等于R
因为若aR=R，那么存在b∈R,使得ab=1，而且交换环可知ba=1，与a不可逆矛盾
所以aR不等于R
显然aR不等于0
那么aR是R的非平凡理想
因为用定义看，任意的r∈R，raR=arR包含于aR
所以aR是理想，且非平凡
那么这与R是单环矛盾
故R一定是域
这是充分必要条件，即
若有单位元的非零交换环R，R为单环与R为域等价
证明:若有单位元的非零交换环R为单环,则R一定是域
所以aR不等于R 显然aR不等于0 那么aR是R的非平凡理想 因为用定义看,任意的r∈R,raR=arR包含于aR 所以aR是理想,且非平凡 那么这与R是单环矛盾 故R一定是域 这是充分必要条件,即 若有单位元的非零交换环R,R为单环与R为域等价
证明:若有单位元的非零交换环R为单环,则R一定是域
所以aR不等于R 显然aR不等于0 那么aR是R的非平凡理想 因为用定义看，任意的r∈R，raR=arR包含于aR 所以aR是理想，且非平凡 那么这与R是单环矛盾 故R一定是域 这是充分必要条件，即 若有单位元的非零交换环R，R为单环与R为域等价
关于:若有单位元的非零交换环R为单环,则R一定是域。
所以aR不等于R 显然aR不等于0 那么aR是R的非平凡理想 因为用定义看，任意的r∈R，raR=arR包含于aR 所以aR是理想，且非平凡 那么这与R是单环矛盾 故R一定是域 这是充分必要条件，即 若有单位元的非零交换环R，R为单环与R为域等价
为什么带幺元的交换环商掉一个最大理想一定是域?
证明思路源自于群的理论，极大正规子群是群除法的单群条件。相应地，极大理想在环的理论中是单环的条件。在一般情况下，并非所有环都存在极大理想，但当环是含幺环时，极大理想的存在性得到了保证。含幺环是单环时，其极大理想是除环的充要条件，因为含幺环转为单环意味着非零元皆为单位元。当环为...
什么是数学里面的环
如果含单位元环R去掉关于加法的单位元0后，对于乘法形成一个群（一般来说环R对乘法形成半群），那么这个环就称为除环。除环不一定是交换环，比如四元数环。交换的除环就是域。无零因子环：一般来说环R对乘法形成半群，但R\\{0}对乘法不一定形成半群。因为如果有两个非零元素的乘积是零，R\\{0}...
(近世代数)证明:M是R的极大理想,当且仅当R\/M是单环。
当R是一个域时, Macaulay([9],p71)用 dialytic方法证明了这个‘定理’. 然而,我们认为,这个证明也只能在 是有限生成R-模时才能通过. 实际上,我们将证明: 定理D: 设R是一个QF环, M是M的有限生成R[X]-子模, 则M是R[X]的某理想的零化阵列模, 当且仅当M是有限生成R-模. 定理E: 设R 是一个有限...
环的单位元一定是单位吗
环的单位元不一定是单位。环一定有零元，不一定有单位元。在有单位元的环中，零理想是其极大理想时，称这种环是单环。环是由集合R和定义于其上的两种二元运算。
森田等价等价保持的性质
在模范畴中，等价的对象共享许多关键属性。当我们将视角聚焦于环的特殊情况时，等价的环之间遵循一些基本原则。如果 R 和 S 是等价的环，那么它们同时满足以下特性：它们都是单环，即每个元素的幂运算最终会达到单位元。它们都是半单环，即没有非平凡幂零元。它们是诺特环，满足正规链条件，即任意非...
有机物是什么?
可用通式表示:若R、R'、R〃相同,称为单甘油酯;若R、R'、R〃不同,称为混甘油酯。天然油脂大都是混甘油酯。 【硝基化合物】系烃分子中的氢原子被硝基-NO2取代而形成的化合物,可用通式R-NO2表示,R可以是烷基,也可以是苯环。如硝基乙烷CH3CH2NO2、【胺】系氨分子中的氢原子被烃基取代后而形成的有机化合...
有机化合物的分类方法
单环芳香烃的通式为CnH2n-6,其中n≥6,单环芳香烃中重要的有苯稠环芳香烃:分子中含有两个或多个苯环,苯环间通过共用两个相。杂环化合物:分子中含有碳原子和氧、氮、硫等其它原子形成环状结构的化合物叫杂环化合物。其中以五原子和六原子的杂环较稳定。具有芳香性的称作芳杂环,烃分子中一个或多个氢原子被...
