设λ1 λ2 是矩阵A的两个不同特征值,对应的特征向量分别为α1 α2

Question

设λ1、 λ2 是矩阵A的两个不同特征值,对应的特征向量分别为α1、 α2 则α1、 A(α1+α2）线性无关的充分必要条件是 A. λ1=0 B. λ2=0 C. λ1≠0 D. λ2≠0 为什么？

Answer 1

选A，要使其线性无关。设k1α1+k2*A(α1+α2)=0，k1,k2只有为0时才能试等式成立。
对于
k1α1+k2*(λ1α1+λ2α2)=0
两边同乘α1，则有k1*α1^2+k2λ1*α1^2+0=0(因为λ1、λ2
是矩阵A的两个不同特征值，有α1*α2=0）
则有(k1+k2λ1)α1^2=0，要使式子恒为0，则只有(k1+k2λ1)=0，又因为要线性无关，所以λ1=0，才能使k1恒为0，k1和k2的值也不会随λ1值变化。
继而我们验证当λ1=0时，
k1α1+k2*(λ1α1+λ2α2)=0就变为
k1α1+k2*λ2α2=0，因为α1和α2不可能对应成比例（α1*α2=0），即k1/k2=-λ2α2/α1,，所以只有k1=0和k2=0时使等式成立。
因为λ1为一个常量，若λ1不为0，那么k1=-λ1k2，此时k2是一个不确定值，因而只有令常量为0，使得这个式子恒成立。