高中数学 几何 问题。

Question

在底面为正方形的四棱锥V-ABCD中，侧棱VA垂直于底面ABCD，且VA=AB，点M为VA的中点，则直线VC与平面MBC所成角的正弦值为（ ）
回答过V做平面MBC的垂线，在根据三角形各边的长度用 余弦定理， 再求正弦值（过V做平面MBC的垂线怎么求？？？）

Answer 1

在底面为正方形的四棱锥V-ABCD中，侧棱VA垂直于底面ABCD，且VA=AB，点M为VA的中点，则直线VC与平面MBC所成角的正弦值为（）

此类题最好应用向量方法，用几何方法如下：

解析：∵四棱锥V-ABCD中，VA⊥底面ABCD（正方形），VA=AB，M为VA的中点

∴面VAB⊥面ABCD，二面交于AB

∵ABCD为正方形

∴BC⊥面VAB

∵BC∈面MBC，∴面MBC⊥面VAB，二面交于BM

取BC中点N，VB中点O

过O作OP⊥BM

∴OP⊥面MBC

连接ON，PN

∴ON//VC，PN为ON在面MBC内的投影

∴∠ONP为直线VC与平面MBC所成角

∵VA=AB=2

∴VC=√(VA^2+AB^2+BC^2)=2√3==>ON=√3

∠VBA=∠VBM+∠MBA=45°

∵M为VA中点==>tan∠MBA=1/2

tan∠VBA=tan(∠VBM+∠MBA)=tan45°

(tan∠VBM+tan∠MBA)/(1- tan∠VBM*tan∠MBA)=tan45°

(tan∠VBM+1/2)/(1- 1/2tan∠VBM)=1

解得tan∠VBM=1/3==>sin∠VBM=√10/10

VB=2√2==>OB=√2

∴OP=OB*sin∠VBM=√20/10

∴sin∠ONP=(√20/10)/√3=√15/15

Answer 2

有几何的解法
1）过V做线VH（H在BC上）垂直于BC
因为VA垂直于BC
所以BC垂直于面VAH
2）延长HM，过V做线VL（L在HM延长线上）垂直于HM
因为BC垂直于面VAH，而线VL属于面VAH
所以BC垂直于VL
因为VL同时垂直于面BMC上相交两直线 BC 和HM
所以VL垂直于面BCM
那么△VLC就是一个直角三角形，且垂直于面BCM
三角形中的∠VCL就是线VC相对于面MBC的倾角。

Answer 3

追问

这个我看了，是用向量解的，有没有代数方法。