圆周率是如何计算导出的?

Answer 1

圆周率是指平面上圆的周长与直径之比.。古希腊欧几里得《几何原本》（约公元前3世纪初）中提到圆周率是常数，中国古算书《周髀算经》（ 约公元前2世纪）中有「径一而周三」的记载，也认为圆周率是常数。中国在两汉之前，一般采用的圆周率是“周三径一”，也就是л=3。很明显，这个数值非常粗糙，用它进行计算会造成很大的误差。随着生产和科学的发展，“周三径一”就越来越不能满足精确计算的要求。因此，人们开始探索比较精确的圆周率。例如，据公元一世纪初制造的律嘉量斜(一种圆柱形标准量器)推算，它所取的圆周率是3.1547。公元二世纪初，东汉天文学家张衡在《灵宪》中取用≈3.1466，又在球体积公式中取用≈3.1622。三国时期吴人王蕃(228—266)在浑仪论说中取≈3.1556。显然这些圆周率都是不精确的。到魏晋时期，著名数学家刘徽在注释《九章算术》时（263年），就用割圆术将圆周率精确到小数点后3位。他用圆内接正多边形就求得精确到两位小数的π值。南北朝时期的祖冲之在刘徽研究的基础上，将圆周率精确到了小数点后7位。据《隋书•律历志》记载，祖冲之确定了圆周率的不足近似值是3.1415926，过剩近似值是3.1415927，还得到两个近似分数值，密率355/113和约率22/7。相当于精确到小数第7位，成为当时世界上最先进的成就。这一纪录直到15世纪才由阿拉伯数学家卡西打破。祖冲之关于圆周率的研究工作和其他重大贡献记载在祖冲之写的《缀术》一书中，被收入著名的《算经十书》中，曾作为唐代国子监算学课本，可惜后来失传了。《隋书•律历志》留下一小段关于圆周率（π）的记载。因此，祖冲之推算圆周率的方法现在已经无法查证。古人计算圆周率，一般是运用割圆术原理和算筹工具推算。割圆法，即用圆的内接或外切正多边形来逼近圆的周长。刘徽用正3072边形得到5位精度；在祖冲之那个时代，人们使用的只是叫算筹的计算工具，它是用竹、木、铁、玉等制成的一根根几寸长的方形或扁形的小棍子。祖冲之利用这原始的计算工具，从12 边形、24 边形、48 边形、96 边形、192 边形、768 边形、1536 边形、到12288 边形,大量地、反复地运算，经过多年不懈的努力，终於得出了比较精确的结论：3.1415926＜π＜3.1415927。这个数值在当时的世界上是最精确的, 直到一千年之后, 才有人打破这个纪录。祖冲之按照刘徽的割圆术之法，设了一个直径为一丈的圆，在圆内切割计算。当他切割到圆的内接一百九十二边形时，得到了“徽率”的数值。但他没有满足，继续切割，作了三百八十四边形、七百六十八边形……一直切割到二万四千五百七十六边形，依次求出每个内接正多边形的边长。最后求得直径为一丈的圆，它的圆周长度在三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽到三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽之间。 也有人说祖冲之的办法其实很简单， 他就是把一个轮子上做一个标记，然后滚一周，测量一下这个轮子走了多远（其实就是周长），然后有测量了轮子的直径。 这样的实验他做了许多次，而后发现了这么一个直径和周长的规律。 就是这么简单！祖冲之求圆周率，具体用的是什么方法，现在学术界还在争论不休，割圆术是刘徽的，至于祖冲之是否用的割圆术，至今没有定论！大家只是推测他可能使用的是割圆术而已。其实圆周率的精度，那完全取决于圆的周长和直径测量的精度及用尺子的精度。取决与计算式和计算过程的正确性。http://wenku.baidu.com/view/2451e26e58fafab069dc024a.html

Answer 2

圆周率是指平面上圆的周长与直径之比.。中国古算书《周髀算经》（ 约公元前2世纪）中有“径一而周三”的记载，也就是圆周率是“周三径一”即л=3。很明显，这个数值有很大误差。公元263年，魏晋数学家刘徽在注释《九章算术》时 ，用割圆术即圆内接正多边形的方法求得精确到2位小数的π值。割圆术即现代极限理论。在祖冲之那个时代，计算圆周率，一般是运用割圆术原理和使用算筹工具，算筹是用竹、木、铁、玉等制成的一根根几寸长的方形或扁形的小棍子。据《隋书•律历志》记载，祖冲之利用这原始的计算工具，按照刘徽的割圆术之法，设置了一个直径为一丈的圆，在圆内切割计算。从12 边形到12288 边形反复地运算，将圆周率精确到了小数点后7位。直到一千年之后才有人打破这个纪录。祖冲之圆周率的研究工作记载在祖冲之写的《缀术》一书中，被收入著名的《算经十书》中，可惜后来失传了。《隋书•律历志》只留下一小段关于圆周率（π）的记载。因此，祖冲之推算圆周率的方法现在已经无法查证。割圆术是刘徽的，他计算到3072边形。祖冲之求圆周率，具体用的是什么方法，尚无定论，只是推测他可能使用割圆术。也有人说祖冲之的办法其实很简单， 他就是把一个轮子上做一个标记，然后滚一周，测量一下这个轮子走了多远（周长），然后测量轮子的直径。 这样的实验他做了许多次，得出周长和直径的比率。 其实圆周率的精度，那完全取决于圆的周长和直径测量的精度及用尺子的精度。取决与计算式和计算过程的正确性。现代使用计算机则方便多了。