已知抛物线y2=4x的焦点为F，过F作两条互相垂直的弦AB,CD，设AB，CD的中点分别为M,N，

Question

已知抛物线y2=4x的焦点为F，过F作两条互相垂直的弦AB,CD，设AB，CD的中点分别为M,N，已知抛物线y2=4x的焦点为F，过F作两条互相垂直的弦AB,CD，设AB，CD的中点分别为M,N，（1）求证：直线MN过定点（2）分别以AB,CD为直径作圆，求两圆相交弦中点H的轨迹。

Answer 1

解：设直线AB的方程为y=-x/k+b1(k>0); 则：CD的直线方程为：y=kx+b2;都过点F，因为：y^2=2px=4x...(i), p=2,  ç„¦ç‚¹F(1,0), 分别代两个直线方程：得：b1=1/k；b2=-k; 两直线方程分别为：y=-x/k+1/k.....(ii) 和 y=kx-k....(iii); 

(1)证明：设点A、B、C、D的坐标分别为（x1，y1),(x2,y2), （x3,y3),(x4,y4); 将x1,y1代入式（ii），得：x1=1-ky1....(iv); (i)和(iv）联立求解：y1^2-4(1-ky1)=y1^2+4ky1-4=0;解得：y1,2,=[-4k+/-4√(k^2+1)]/2=-2+/-2√(k^2+1),  x1,2=(y1,2)^2/4=[-1+/-√(k^2+1)]^2)=1-/+ 2√(k^2+1)+k^2+1=k^2+2-/+2√(k^2+1).同理,(i)和(iii)联立,解得:y3,4=2/k-/+2√(k^2+1)/k; x3,4=[2/k-/+2√(k^2+1)/k]^2/4= 1/k^2[k^2+2-/+2√(k^2+1)]。 

坐标点A、(k^2+2-2√(k^2+1)，-2+2√(k^2+1)),点B(k^2+2+2√(k^2+1)，-2-2√(k^2+1)); 点C,         ([k^2+2-2√(k^2+1)]/k^2, [2-√(k^2+1)]/k),点D([k^2+2+2√(k^2+1)]/k^2, 2/k+2√(k^2+1)/k)。         M点坐标AB/2（(k^2+2), -2), N点坐标 （(k^2+2,)/k^2, 2/k);

MN的直线方程为:(y+2)/[x-(k^2+2)]=(2/k+2)/[(k^2+2)/k^2-(k^+2)]=-2k/[(k^2+2)(k-1)];             y=-2kx/[(k^2+2)(k-1)]+2k/(k-1)-2=-2kx/[(k^2+2)(k-1)]+2/(k-1)......(vii);  å½“x=0时，式（vii）为，y=2/(k-1), 为x轴的定点E; 因此，直线MN过定点。得证。

（2）AM^2=[2√(k^2+1)]^2+[-2√(k^2+1)]^2=8(k^2+1), 

CN^2={[2√(k^2+1)]/k^2}^2+[-2√(k^2+1)/k]^2=4(k^2+1)^2/k^4;

圆M方程为：[x-(k^2+2)]^2+(y+2)^2=8(k^2+1)........(viii);

圆N方程为：[x-(k^2+2)/k^2]^2+(y-2/k)^2=4(k^2+1)^2/k^4........(ix);       (viii)-(ix),得：            

2x(k^2+2)(-1+k^2)/k^2+2y(k^2+1)/k^2=-(k^2+2)^2(k^4-1)/k^4-2(k^2-1)/k^2+4(k^2+1)(2k^4-k^2-1)/k^4=(k^2-1)/k^4[4(k^2+1)(2k^2+1)-2k^2-(k^2+2)^2(k^2+1)]=2(k^2-1)/k^4 (8k^4+12k^2+4-2k^2-k^6-8k^4-8k^2-4)=2(k^2-1)(-k^4+2)/k^2;

H点的轨迹是直线：(k^2+2)(k^2-1)x+(k^2+1)y+(k^2-1)(k^4-2)

Answer 2

简单计算一下，答案如图所示