1.∫( 1/(1+2cosx)) dx= 2.lim x->0 (3-e^x/x+2)^(1/sinx) 一道5分，做了追加

Answer 1

1、万能代换
令tan(x/2)=u，则cosx=(1-u²)/(1+u²)，x=2arctanu，dx=2/(1+u²)du
∫
1/(1+2cosx)
dx
=∫
1/(1+2(1-u²)/(1+u²))
*2/(1+u²)du
=∫
2/(3-u²)
du
=(1/√3)ln|(u+√3)/(u-√3)|+C
=(1/√3)ln|(tan(x/2)+√3)/(tan(x/2)-√3)|+C
2、设(3-e^x/x+2)^(1/sinx)=y
lny=(1/sinx)ln[(3-e^x)/(x+2)]
=(1/sinx)ln[1+(3-e^x)/(x+2)-1]
对数里加1减1
=(1/sinx)ln[1+(3-e^x-x-2)/(x+2)]
=(1/sinx)ln[1+(1-e^x-x)/(x+2)]
lim
lny
...展开1、万能代换
令tan(x/2)=u，则cosx=(1-u²)/(1+u²)，x=2arctanu，dx=2/(1+u²)du
∫
1/(1+2cosx)
dx
=∫
1/(1+2(1-u²)/(1+u²))
*2/(1+u²)du
=∫
2/(3-u²)
du
=(1/√3)ln|(u+√3)/(u-√3)|+C
=(1/√3)ln|(tan(x/2)+√3)/(tan(x/2)-√3)|+C
2、设(3-e^x/x+2)^(1/sinx)=y
lny=(1/sinx)ln[(3-e^x)/(x+2)]
=(1/sinx)ln[1+(3-e^x)/(x+2)-1]
对数里加1减1
=(1/sinx)ln[1+(3-e^x-x-2)/(x+2)]
=(1/sinx)ln[1+(1-e^x-x)/(x+2)]
lim
lny
=lim
ln[1+(1-e^x-x)/(x+2)]/sinx
ln[1+(1-e^x-x)/(x+2)]的等价无穷小是(1-e^x-x)/(x+2)，sinx的等价无穷小是x
=lim
(1-e^x-x)
/
[x(x+2)]
=lim
(1-e^x-x)/x
*
lim
1/(x+2)]
后一项极限为1/2，前一项洛必达法则
=(1/2)lim
(-e^x-1)/1
=-1
则
lny
的极限为-1，因此
y
的极限为1/e
如没有问题，请采纳，谢谢。收起