已知△ABC的一个顶点A(2,-4),∠B和∠C的平分线所在的直线方程为:x+y-2=0和x-3y-6=0.

Question

已知△ABC的一个顶点A(2,-4),∠B和∠C的平分线所在的直线方程为:x+y-2=0和x-3y-6=0.求这个三角形三边所在的直线方程

要过程~谢谢

Answer 1

△ABC的顶点A(2,-4),两条角平分线BE和CF的方程分别为x+y-2=0和x-3y-6=0
求BC边所在直线的方程。

解：解题思路：∵BE是∠B的平分线,∴点A关于BE对称的点A1必在BC边上;同样,∵CF是∠C的平分线,∴点A关于CF的对称点A2也必在BC上.于是A1A2所在直线的方程便是BC所在直线的方程.
设点A关于BE的对称点A1的坐标为(m,n),则AA1的中点((2+m)/2,(-4+n)/2)
必在BE所在的直线上,故有(2+m)/2+(-4+n)/2-2=0,化简得：
m+n-6=0……(1).
BE所在直线的斜率KBE=-1,∴过A且⊥BE的直线的方程为y+4=x-2,即x-y-6=0.
A1在此直线上,故有m-n-6=0……(2).
(1)+(2)得2m-12=0,即m=6,代入(1)式得n=0.∴A1的坐标为(6,0).
设点A关于CF的对称点A2的坐标为(h,p),则AA2的中点((2+h)/2,(-4+p)/2)
必在CF所在的直线上,故有(2+h)/2-3(-4+p)/2-6=0,化简得：
h-3p+2=0……(3).
CF所在直线的斜率KCF=1/3,∴过A且⊥CF的直线的方程为y+4=-3(x-2),即
-3x-y+2=0,A2在此直线上,故有：
-3h-p+2=0……(4).
(3)-3(4)得h=2/5,代入(4),得p=4/5.故A2的坐标为(2/5,4/5).
A1A2所在直线的斜率K=(4/5)/[(2/5)-6]=-1/7.
故BC所在直线的方程为y=-(1/7)(x-6)，即x+7y-6=0为所求.

Answer 2

求A关于X+Y-2=0和X-3Y-6=0的对称点
△ABC的顶点A(2,-4),两条角平分线BE和CF的方程分别为x+y-2=0和x-3y-6=0
求BC边所在直线的方程。

解：解题思路：∵BE是∠B的平分线,∴点A关于BE对称的点A1必在BC边上;同样,∵CF是∠C的平分线,∴点A关于CF的对称点A2也必在BC上.于是A1A2所在直线的方程便是BC所在直线的方程.
设点A关于BE的对称点A1的坐标为(m,n),则AA1的中点((2+m)/2,(-4+n)/2)
必在BE所在的直线上,故有(2+m)/2+(-4+n)/2-2=0,化简得：
m+n-6=0……(1).
BE所在直线的斜率KBE=-1,∴过A且⊥BE的直线的方程为y+4=x-2,即x-y-6=0.
A1在此直线上,故有m-n-6=0……(2).
(1)+(2)得2m-12=0,即m=6,代入(1)式得n=0.∴A1的坐标为(6,0).
设点A关于CF的对称点A2的坐标为(h,p),则AA2的中点((2+h)/2,(-4+p)/2)
必在CF所在的直线上,故有(2+h)/2-3(-4+p)/2-6=0,化简得：
h-3p+2=0……(3).
CF所在直线的斜率KCF=1/3,∴过A且⊥CF的直线的方程为y+4=-3(x-2),即
-3x-y+2=0,A2在此直线上,故有：
-3h-p+2=0……(4).
(3)-3(4)得h=2/5,代入(4),得p=4/5.故A2的坐标为(2/5,4/5).
A1A2所在直线的斜率K=(4/5)/[(2/5)-6]=-1/7.
故BC所在直线的方程为y=-(1/7)(x-6)，即x+7y-6=0为所求.

Answer 3

求A关于X+Y-2=0和X-3Y-6=0的对称点