一道简单的高数题

Question

求面密度为ρ0的均匀半球壳x^2+y^2+z^2=a^2(z>=0)对于z轴的转动惯量

Answer 1

均匀半球壳x^2+y^2+z^2=a^2(z>=0)∑在xoy面上的投影区域是D:x^2+y^2≤a^2dS＝a/√(a^2-x^2-y^2) dxdy转动惯量Iz＝∫∫(∑) ρ0(x^2+y^2)dS＝∫∫(D) ρ0(x^2+y^2) a/√(a^2-x^2-y^2) dxdy＝ρ0a∫(0～2π)dθ∫(0～a) ρ^3/√(a^2-ρ^2) dρ＝ρ0×a×2π×∫(0～a) ρ^3/√(a^2-ρ^2) dρ ∫(0～a) ρ^3/√(a^2-ρ^2) dρ＝－1/2×∫(0～a) ρ^2 d√(a^2-ρ^2)，令t＝√(a^2-ρ^2)，则∫(0～a) ρ^3/√(a^2-ρ^2) dρ＝1/2×∫(0～a) (a^2-t^2) dt＝2a^3/3 ∴Iz＝∫∫(∑) ρ0(x^2+y^2)dS＝ρ0×a×2π×2a^3/3＝4ρ0πa^4/3

Answer 2

设球面上有一微元S,设OS与竖直方向夹角为a,则S在O处的场强为E=(knS)/R^2,
则竖直分量为Ey=(knS*cosa)/R^2
E总=∑Ey=kn/R^2* ∑(S*cosa)
∑(S*cosa)即为球面在底面的投影面积πR^2
则球心O处的电场强度为nkπ (竖直方向)
量纲也对了