在平面直角坐标系xOy中，直线l过抛物线y 2 ＝4x的焦点F交抛物线于A、B两点．(1) 若 =8，求直线l的斜率(2

Question

在平面直角坐标系xOy中，直线l过抛物线y 2 ＝4x的焦点F交抛物线于A、B两点．(1) 若 =8，求直线l的斜率(2)若 =m, =n.求证 为定值

Answer 1

（1）k=1或-1（2） ="1"

分析： （1）求出抛物线的焦点坐标，准线方程，设直线l方程为：y=k（x-1），代入y 2 =4x得[k（x-1）] 2 =4x，利用韦达定理及抛物线的定义，即可求直线l的斜率 （2）由（1）知，|AF|=m=x 1 +1，|BF|=n=x 2 +1，表示出1/m+1/n。利用韦达定理代入化简即可得出结论。 （1）解：抛物线的焦点坐标为（1，0），准线方程为：x=-1 设直线l方程为：y=k（x-1），代入y 2 =4x得[k（x-1）] 2 =4x，即k 2 x 2 -（2k 2 +4）x+k 2 =0 设A（x 1 ，y 1 ），B（x 2 ，y 2 ），则x 1 +x 2 =2k 2 +4/ k 2 ，x 1 x 2 =1 ∵|AB|=8，∴x 1 +x 2 +2=8 ∴2k 2 +4/ k 2 =6，∴k 2 =1 ∴k=1或-1。 （2）证明：由（1）知，|AF|=m=x 1 +1，|BF|=n=x 2 +1。 ∴1/m+1/n=（1/ x 1 +1）+（1/ x 2 +1）=（x 1 +1+x 2 +1）/[(x 1 +1)(x 2 +1)]= （x 1 +x 2 +2）/[(x 1 +x 2 )+x 1 x 2 +1] ∵x 1 +x 2 =2k 2 +4/ k 2 ，x 1 x 2 =1 ∴（x 1 +x 2 +2）/[(x 1 +x 2 )+x 1 x 2 +1]=1 ∴1/m+1/n=1，为定值。 点评：本题重点考查抛物线的标准方程，考查抛物线过焦点的弦，利用抛物线的定义，正确运用韦达定理是解题的关键。