若x服从正态分布，为什么∑ (i=1→n)（xi-x拔）∧2服从卡方（n-1）分布？

Question

若x服从正态分布，为什么∑ (i=1→n)（xi-x拔）∧2服从卡方（n-1）分布？为什么是n-1

Answer 1

因为S²=1/(n-1)∑(Xi-X拔)²，而且(n-1)S²/σ²～χ²(n-1)，又因为σ=1，∑(Xi-X拔)²～χ²(n-1)，根据卡方分布的定义可知：∑(Xi-μ)2/σ2服从正态分布 N(μ,σ2/n)，则 (X*-μ)/ (σ/n1/2) 服从正态分布 N(0,1) ∑(Xi-μ)2/σ2 。

若n个相互独立的随机变量ξ₁，ξ₂，...,ξn ，均服从标准正态分布（也称独立同分布于标准正态分布），则这n个服从标准正态分布的随机变量的平方和构成一新的随机变量，其分布规律称为卡方分布。

正态分布曲线一种概率分布。正态分布是具有两个参数μ和σ^2的连续型随机变量的分布，第一参数μ是遵从正态分布的随机变量的均值，第二个参数σ2是此随机变量的方差，所以正态分布记作N(μ，σ^2)。

遵从正态分布的随机变量的概率规律为取μ邻近的值的概率大，而取离μ越远的值的概率越小；σ越小，分布越集中在μ附近，σ越大，分布越分散。正态分布的密度函数的特点是：关于μ对称，在μ处达到最大值，在正（负）无穷远处取值为0，在μ±σ处有拐点。它的形状是中间高两边低，图像是一条位于x轴上方的钟形曲线。

当μ=0，σ^2=1时，称为标准正态分布，记为N（0，1）。μ维随机向量具有类似的概率规律时，称此随机向量遵从多维正态分布。多元正态分布有很好的性质，例如，多元正态分布的边缘分布仍为正态分布，它经任何线性变换得到的随机向量仍为多维正态分布，特别它的线性组合为一元正态分布。

扩展资料：

由于一般的正态总体其图像不一定关于y轴对称，对于任一正态总体，其取值小于x的概率。只要会用它求正态总体在某个特定区间的概率即可。

为了便于描述和应用，常将正态变量作数据转换。将一般正态分布转化成标准正态分布。

若 

服从标准正态分布,通过查标准正态分布表就可以直接计算出原正态分布的概率值。故该变换被称为标准化变换。（标准正态分布表：标准正态分布表中列出了标准正态曲线下从-∞到X（当前值）范围内的面积比例。）

正态分布具有两个参数μ和σ^2的连续型随机变量的分布，第一参数μ是服从正态分布的随机变量的均值，第二个参数σ^2是此随机变量的方差，所以正态分布记作N（μ,σ2）。

μ是正态分布的位置参数，描述正态分布的集中趋势位置。概率规律为取与μ邻近的值的概率大，而取离μ越远的值的概率越小。正态分布以X=μ为对称轴，左右完全对称。正态分布的期望、均数、中位数、众数相同，均等于μ。

σ描述正态分布资料数据分布的离散程度，σ越大，数据分布越分散，σ越小，数据分布越集中。也称为是正态分布的形状参数，σ越大，曲线越扁平，反之，σ越小，曲线越瘦高。

正态曲线下横轴上一定区间的面积反映该区间的例数占总例数的百分比，或变量值落在该区间的概率（概率分布）。不同 范围内正态曲线下的面积可用公式计算。

正态曲线下，横轴区间(μ-σ,μ+σ)内的面积为68.268949%。

P{|X-μ|<σ}=2Φ(1)-1=0.6826

横轴区间(μ-1.96σ,μ+1.96σ)内的面积为95.449974%。

P{|X-μ|<2σ}=2Φ(2)-1=0.9544

横轴区间(μ-2.58σ,μ+2.58σ)内的面积为99.730020%。

P{|X-μ|<3σ}=2Φ(3)-1=0.9974

参考资料来源：百度百科——正态分布

Answer 2

因为S²=1/(n-1)∑(Xi-X拔)²，而且(n-1)S²/σ²～χ²(n-1)，又因为σ=1，∑(Xi-X拔)²～χ²(n-1)，根据卡方分布的定义可知：∑(Xi-μ)2/σ2服从正态分布 N(μ,σ2/n)，则 (X*-μ)/ (σ/n1/2) 服从正态分布 N(0,1) ∑(Xi-μ)2/σ2 。

若n个相互独立的随机变量ξ₁，ξ₂，...,ξn ，均服从标准正态分布（也称独立同分布于标准正态分布），则这n个服从标准正态分布的随机变量的平方和构成一新的随机变量，其分布规律称为卡方分布。

扩展资料

卡方分布性质：

1、分布在第一象限内，卡方值都是正值，呈正偏态（右偏态），随着参数的增大，分布趋近于正态分布；卡方分布密度曲线下的面积都是1.

2、分布的均值与方差可以看出，随着自由度的增大，χ2分布向正无穷方向延伸（因为均值越来越大），分布曲线也越来越低阔（因为方差越来越大）。

3、不同的自由度决定不同的卡方分布，自由度越小，分布越偏斜。

4、若互相独立，则：服从分布，自由度为；

5、分布的均数为自由度，记为 E() =。

6、分布的方差为2倍的自由度()，记为 D() =。

参考资料：百度百科—卡方分布

Answer 3

因为S²=1/(n-1)∑(Xi-X拔)²，而且(n-1)S²/σ²～χ²(n-1)，又因为σ=1，∑(Xi-X拔)²～χ²(n-1)，根据卡方分布的定义可知：∑(Xi-μ)2/σ2服从正态分布 N(μ,σ2/n)，则 (X*-μ)/ (σ/n1/2) 服从正态分布 N(0,1) ∑(Xi-μ)2/σ2 。

若n个相互独立的随机变量ξ₁，ξ₂，...,ξn ，均服从标准正态分布（也称独立同分布于标准正态分布），则这n个服从标准正态分布的随机变量的平方和构成一新的随机变量，其分布规律称为卡方分布。

扩展资料：

正态分布概念是由德国的数学家和天文学家Moivre于1733年首次提出的，但由于德国数学家Gauss率先将其应用于天文学家研究，故正态分布又叫高斯分布。

高斯这项工作对后世的影响极大，他使正态分布同时有了“高斯分布”的名称，后世之所以多将最小二乘法的发明权归之于他，也是出于这一工作。但现今德国10马克的印有高斯头像的钞票，其上还印有正态分布的密度曲线。

这传达了一种想法：在高斯的一切科学贡献中，其对人类文明影响最大者，就是这一项。在高斯刚作出这个发现

之初，也许人们还只能从其理论的简化上来评价其优越性，其全部影响还不能充分看出来。这要到20世纪正态小样本理论充分发展起来以后。拉普拉斯很快得知高斯的工作，并马上将其与他发现的中心极限定理联系起来。

为此，他在即将发表的一篇文章（发表于1810年）上加上了一点补充，指出如若误差可看成许多量的叠加，根据他的中心极限定理，误差理应有高斯分布。

这是历史上第一次提到所谓“元误差学说”——误差是由大量的、由种种原因产生的元误差叠加而成。后来到1837年，海根（G.Hagen）在一篇论文中正式提出了这个学说。

Answer 4

（均值用X* 表示,且可知X*=(∑Xi)/n） Xi服从正态分布 N(μ,σ2)，则 (Xi-μ)/σ 服从标准正态分布 N(0,1) 根据卡方分布的定义可知：∑(Xi-μ)2/σ2服从Χ2(n)分布 X*服从正态分布 N(μ,σ2/n)，则 (X*-μ)/ (σ/n1/2) 服从标准正态分布 N(0,1) ∑(Xi-μ)2/σ2 =。

追问

没看懂，为什么服从卡方n-1

Answer 5

我来回答吧
因为S²=1/(n-1)∑(Xi-X拔)²，而且(n-1)S²/σ²～χ²(n-1)[高数书上有，但我不会证明，]，这道题刚好σ=1，所以∑(Xi-X拔)²～χ²(n-1)，
给我追加悬赏分啊！