如图,扇形AOB的半径为2,圆心角为120度,在弧AB上任取两点P、Q作矩形PQRS使R.S分别位于OB,OA上求矩形面积最

Question

求矩形面积最大值
答案是4√3/3
求过程

Answer 1

注sqr(x)代表“根号下x”

设角PAQ=2x
PQ=2·2sinx=4sinx

设A到SR的距离为m
在三角形PSA中
AP/sin(120度)=SA/sinx
所以SA=2sinx/(sqr(3)/2)
而m=0.5SA
所以m=2sinx/sqr(3)
所以PS=2cosx-2sinx/sqr(3)
所以面积=4(2sinxcosx-2sin^2x/sqr(3))
=4(sin2x+(-1+cos2x)/sqr(3))
=[8/sqr(3)][(sqr(3)/2)*sin2x+0.5cos2x-0.5]
=[8/sqr(3)](sin(2x+π/6)-0.5)
看x范围，x∈(0,π/3)
所以2x+π/6∈(π/6,5π/6)
所以可以取到最大值1
所以面积最大值为4/sqr(3)

Answer 2

注sqr(x)代表“根号下x”

设角PAQ=2x
PQ=2·2sinx=4sinx

设A到SR的距离为m
在三角形PSA中
AP/sin(120度)=SA/sinx
所以SA=2sinx/(sqr(3)/2)
而m=0.5SA
所以m=2sinx/sqr(3)
所以PS=2cosx-2sinx/sqr(3)
所以面积=4(2sinxcosx-2sin^2x/sqr(3))
=4(sin2x+(-1+cos2x)/sqr(3))
=[8/sqr(3)][(sqr(3)/2)*sin2x+0.5cos2x-0.5]
=[8/sqr(3)](sin(2x+π/6)-0.5)
看x范围，x∈(0,π/3)
所以2x+π/6∈(π/6,5π/6)
所以可以取到最大值1
所以面积最大值为4/sqr(3)