高中数学 排列组合 问题

Question

给定一个数m 要求将1到m之间所有整数都填入一个长度为n的格子中 （n > m） 要求m个数都用上 允许重复使用同一个数 问有多少种排列方式
谢大牛帮忙解答~

Answer 1

感觉应该是A(m,m) * A(m+1 , n-m+1)
因为n > m ,且要求m个数都用上，则 m个数的全排列有A(m,m)
此时，将A(m,m)的排列结果看成一个数，则此时，还有n-m+1个数要排列，备选数据为m+1个，因此，剩余的排列为A(m+1 , n-m+1)， 但这其中要减去A(m,m)数据重复使用的情况，重复使用用个数的情况 x =？？？
总排列为：
A(m,m) *（ A(m+1 , n-m+1) -x ）

追问

那重复的情况怎么算。。。

追答

涛略不凡的解法确实存在问题，没有考虑到将m个数全用上的情况！
应该没有重复的情况
m个数的全排列：A(m,m)中不存在重复的情况 = m! = C(m,1)*C((m-1),1)*...C(1,1) = m!

允许重复使用同一个数 这句话有点不太明确，是指只能剩下的数的排列中可以重复多次某一个数，还是指剩下的数中(n-m)可以使用m个当中的任意数？

如果是后一种，则其排列就是A(m+1,n-m+1)，其结果就是A(m,m) * A(m+1 , n-m+1)

这解法也存在问题，（即：剩下的数排列在m个数中间的情况没有考虑到）再研究研究，确实难住人了

追问

哈哈哈 我今天就是被这个问题困扰了四个小时 四个小时没做出题来。。。 等你答案哦 要是我有答案了 就告诉你~~

追答

这是我所做的我认为正确的结果，你研究一下，看哪里有漏洞没有

追问

分析一中 你假定的是给前m个格子进行全排列 后面格子随便排 后面我理解的意思是 先把1-m格子放好 剩下的 随便排 是吧 但是这样会有很多的重复 比如 m=2 n=4 我先选定前两个格子放1和2 后面两个格子随便放 这样的话就有 1211这种情况 对吧 然后我再选定2和3格子放1和2 第一个和最后一个格子随便放 这样的话就有1211这种情况 你看看 是不是重复了 TAT

追答

要求m个数都用上 允许重复使用同一个数

如果是只允许重复使用一个（only one），则可得结果为：
m* A(n,n) / A(n-m+1,n-m+1)
= m*(n!) /[(n-m+1)!]
如果 允许出现多个数重复使用，则结果就很难算了

Answer 2

将n格子分别命名为a1, a2, a3, ... an
排列的思想是把任务分成阶段，和每个阶段有多少方法
那么
a1格有会m种填法， 同样
a2格也有会m种填法
a3格也有会m种填法
。。。。

an格也有会m种填法

所以，总数为m*m*.....m(一共有n个m), 即m^n个

追问

那这样就不能保证1到m所有数都用上了啊。。
比如 m个1

追答

已经包括这种情况了，比如

a1格有会m种填法，其中就有1的时候
a2格也有会m种填法 ，其中也就有1的时候
a3格也有会m种填法，其中也就有1的时候
。。。
所以就已经包括“m个1"的情况了

追问

但是这样的情况不符合题意啊。。。 大牛 你再读读题意。。。。