利用球坐标计算三重积分：根号下x^2+y^2+z^2dxdydz。V：由x^2+y^2+z^2=z

Question

利用球坐标计算三重积分：根号下x^2+y^2+z^2dxdydz。V：由x^2+y^2+z^2=z围成

Answer 1

结果为：π/5

解题过程如下：

设x=rsinacosθ，y=rsinasinθ，z=rcosa

则dxdydz=r^2sinadrdadθ

x^2+y^2+z^2=z变为r=cosa

原式=2∫<0,2π>dθ∫<0,π/2>da∫<0,cosa>r^3sinadr

=4π∫<0，π/2>(1/4)(cosa)^4sinada

=π（-1/5）（cosa)^5|<0，π/2>

=π/5

扩展资料

求函数积分的方法：

如果一个函数f在某个区间上黎曼可积，并且在此区间上大于等于零。那么它在这个区间上的积分也大于等于零。如果f勒贝格可积并且几乎总是大于等于零，那么它的勒贝格积分也大于等于零。

为推论，如果两个  上的可积函数f和g相比，f（几乎）总是小于等于g，那么f的（勒贝格）积分也小于等于g的（勒贝格）积分。

函数的积分表示了函数在某个区域上的整体性质，改变函数某点的取值不会改变它的积分值。对于黎曼可积的函数，改变有限个点的取值，其积分不变。

对于勒贝格可积的函数，某个测度为0的集合上的函数值改变，不会影响它的积分值。如果两个函数几乎处处相同，那么它们的积分相同。如果对  中任意元素A，可积函数f在A上的积分总等于（大于等于）可积函数g在A上的积分，那么f几乎处处等于（大于等于）g。

如果在闭区间[a,b]上，无论怎样进行取样分割，只要它的子区间长度最大值足够小，函数f的黎曼和都会趋向于一个确定的值S，那么f在闭区间[a,b]上的黎曼积分存在，并且定义为黎曼和的极限S。

Answer 2

利用球面坐标计算，主要就是注意θ φ的上下限问题，θ是投影到xoy平面时极坐标里的角度，φ指的是从z轴往外的角度

追答

Answer 3

设x=rsinacosθ，y=rsinasinθ，z=rcosa,则
dxdydz=r^2sinadrdadθ，
x^2+y^2+z^2=z变为r=cosa,
原式=2∫<0,2π>dθ∫<0,π/2>da∫<0,cosa>r^3sinadr
=4π∫<0，π/2>(1/4)(cosa)^4sinada
=π（-1/5）（cosa)^5|<0，π/2>
=π/5.
仅供参考。

Answer 4

变换成球坐标积分，dxdydz=r²sinφdrdφdθ
x=rsinφ*cosθ
y=rsinφ*sinθ
z=rcosφ
且x²+y²+z²=r²，
原式=∫∫∫r^4*sinφdrdφdθ
但x^2+y^2+z^2=z不是封闭曲面，哪来的界定区域