想用MATLAB中的corrcoef函数求两个向量的相关系数。

Question

比如A=[1 2 3];B=[5 3 7]; r= corrcoef(A,B)可以求出相关系数是0.5.为什么两个向量的元素都要是3个以上才行？而只有两个元素的向量如A=[1 2];B=[5 3];不管怎么随机的取，相关系数都是1或-1啊？只含两个元素的向量，都一定相关吗？

Answer 1

这是求相关度的结果，对于一般的矩阵X，执行A=corrcoef(X)后，A中每个值的所在行a和列b，反应的是原矩阵X中相应的第a个列向量和第b个列向量的相似程度（即相关系数）。计算公式是：C(1,2)/SQRT(C(1,1)*C(2,2))，其中C表示矩阵[f,g]的协方差矩阵，假设f和g都是列向量（这两个序列的长度必须一样才能参与运算），则得到的（我们感兴趣的部分）是一个数。以默认的A=corrcoef(f,g)为例，输出A是一个二维矩阵（对角元恒为1），我们感兴趣的f和g的相关系数就存放在A(1,2)=A(2,1)上，其值在[-1,1]之间，1表示最大的正相关，-1表示绝对值最大的负相关

>> A=[1 2 3];B=[5 3 7]; r= corrcoef(A,B)

r =

    1.0000    0.5000

    0.5000    1.0000

>> A=[1 2];B=[5 3];

   r= corrcoef(A,B)

r =

    1.0000   -1.0000

   -1.0000    1.0000%%-1是算出来的，不是说二维向量就一定相关，根据图中r和协方差矩阵的关系

cov(A,B)

ans =

    0.5000   -1.0000

   -1.0000    2.0000%%%A和B的协方差矩阵，

那么R（1,2）=C（1,2）/(sqrt（C（1,1）*C（2,2））)=-1，sqrt为开方的意思。

追问

非常感谢你的回答，真的是太详细了，我都抄在本子上了呵呵。但还是有一点不明白，
“-1是算出来的，不是说二维向量就一定相关，”什么意思？为什么任何两个二维向量计算出来的相关系数都是1或者-1？你不是说“1表示最大的正相关，-1表示绝对值最大的负相关”吗？那么任何两个二维的向量都具有最大的正（负）相关性吗？相关系数为1，也就是相关的。我不是学数学的，是做课题的时候发现这个问题不明白。

追答

>> A=[1 0];B=[0 1];%%二维向量，不相关
cov(A,B)
ans =
0.5000 -0.5000
-0.5000 0.5000
A=[1 2];B=[5 10];%%二维向量，相关
cov(A,B)
ans =
0.5000 2.5000
2.5000 12.5000
正相关是指两列变量变动方向相同，一列变量由大到小或由小到大变化时，另一列变量亦由大到小或由小到大变化。
负相关是指两列变量变动方向相反，一列变量由大到小或由小到大变化时，另一列变量反而由小到大或由大到小变化。
matlab 函数corrcoef也是根据上面的概念计算的，关于二维向量计算总得到-1或者1的问题，我仔细看了下，上面的测试两组数据，可以看出协方差矩阵中sqrt（C（1,1）*C（2,2））=C（1,2）or-C（1,2）。也就是说不管你怎么换数据sqrt（C（1,1）*C（2,2））=C（1,2）or-C（1,2）这个式子总是成立的，所以我个人认为是样本数量（向量维数）少或者是这个函数的缺陷。