∫(上限1,下限0)ln(x+1)dx,用分部积分法计算该定积分

如题所述

∫(上限1,下限0)ln(x+1)dx=2ln2-1。

解答过程如下:

∫ln(x+1)dx

=xln(x+1)-∫xd[ln(x+1)]

=xln(x+1)-∫[x/(x+1)]dx

=xln(x+1)-∫[1-1/(x+1)]dx

=xln(x+1)-∫dx+∫[1/(x+1)]d(x+1)

=xln(x+1)-x+ln(x+1)+C(C为积分常数)

代入上下限

=ln2-1+ln2

=2ln2-1

扩展资料:

根据牛顿-莱布尼茨公式,很多函数的定积分的计算方法可以简单的通过求不定积分来处理。这里要注意不定积分与定积分之间的关系:定积分是一个数,而不定积分是一个表达式,它们仅仅是数学上有一个计算关系。

一个函数,可以存在不定积分,而不存在定积分,也可以存在定积分,而没有不定积分。连续函数,一定存在定积分和不定积分。

若在有限区间[a,b]上只有有限个间断点且函数有界,则定积分存在;若有跳跃、可去、无穷间断点,则原函数一定不存在,即不定积分一定不存在。

温馨提示:内容为网友见解,仅供参考
第1个回答  2019-03-05

∫(上限1,下限0)ln(x+1)dx=2ln2-1。

解答过程如下:

∫ln(x+1)dx

=xln(x+1)-∫xd[ln(x+1)]

=xln(x+1)-∫[x/(x+1)]dx

=xln(x+1)-∫[1-1/(x+1)]dx

=xln(x+1)-∫dx+∫[1/(x+1)]d(x+1)

=xln(x+1)-x+ln(x+1)+C(C为积分常数)

代入上下限

=ln2-1+ln2

=2ln2-1

扩展资料:

分部积分:

(uv)'=u'v+uv',得:u'v=(uv)'-uv'。

两边积分得:∫ u'v dx=∫ (uv)' dx - ∫ uv' dx。

即:∫ u'v dx = uv - ∫ uv' d,这就是分部积分公式。

也可简写为:∫ v du = uv - ∫ u dv。

常用积分公式:

1)∫0dx=c 

2)∫x^udx=(x^(u+1))/(u+1)+c

3)∫1/xdx=ln|x|+c

4)∫a^xdx=(a^x)/lna+c

5)∫e^xdx=e^x+c

6)∫sinxdx=-cosx+c

7)∫cosxdx=sinx+c

8)∫1/(cosx)^2dx=tanx+c

9)∫1/(sinx)^2dx=-cotx+c

10)∫1/√(1-x^2) dx=arcsinx+c

11)∫1/(1+x^2)dx=arctanx+c

12)∫1/(a^2-x^2)dx=(1/2a)ln|(a+x)/(a-x)|+c

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第2个回答  2017-03-05
分部积分法:
∫ln(x+1)dx
=xln(x+1)-∫xd[ln(x+1)]
=xln(x+1)-∫[x/(x+1)]dx
=xln(x+1)-∫[1-1/(x+1)]dx
=xln(x+1)-∫dx+∫[1/(x+1)]d(x+1)
=xln(x+1)-x+ln(x+1)+C
代入上下限
=ln2-1+ln2
=2ln2-1本回答被提问者和网友采纳
第3个回答  2017-03-05


见图片。

第4个回答  2017-03-05
∫ln(x+√(1+x^2))dx=xln(x+√(1+x^2))-∫xdln(x+√(1+x^2)
=xln(x+√(1+x^2)-√(1+x^2)+C
∫[0,1]ln(x+√(1+x^2)dx=ln(1+√2)-√2+1
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