如图1，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D为AB边中点，以点D为顶点作∠PDQ=90°，DP、DQ分别交直线AC、B

Question

如图1，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D为AB边中点，以点D为顶点作∠PDQ=90°，DP、DQ分别交直线AC、BC于E、F，分别过E、F作AB的垂线，垂足分别为M、N．（1）求证：EM+FN=22AC；（2）把∠PDQ绕点D旋转，当点E在线段AC的延长线上时（如图2），则线段EM、FN、AC之间满足的关系式是______；（3）在∠PDQ绕点D由图1到图2的旋转的过程中，设DP交直线BC于点G，连接BE，若FG=10，AE=3CE，求BE的长．

Answer 1

（1）证明：连接CD，
∵AC=BC，∠ACB=90°，点D为AB边中点，
∴∠ACD=∠DCB=

1

2

∠ACB=45°，CD⊥AB，
又∠A=∠B=45°，
∴∠ECD=∠FBD，
又D为Rt△ABC斜边AB的中点，
∴CD=BD=

1

2

AB，
∵∠PDQ=90°，
∴∠EDC+∠CDF=90°，
又CD⊥AB，∴∠CDF+∠FDB=90°，
∴∠EDC=∠FDB，
在△CED和△FBD中，

∠EDC＝∠FBD CD＝BD ∠EDC＝∠FDB

，
∴△CED≌△FBD（ASA），
∴ED=FD，
又∵∠MED+∠EDM=90°，∠EDM+∠FDN=90°，
∴∠MED=∠NDF，
在△EDM和△DFN中，

∠MED＝∠NDF ∠EMD＝∠DNF＝90° ED＝FD

，
∴△EDM≌△DFN（AAS），
∴MD=FN，
又∠A=45°，∠EMA=90°，
∴∠AEM=∠A=45°，
∴AM=EM，
∴EM+FN=AM+MD=AD，
在Rt△ACD中，cosA=cos45°=

AD

AC

=

2

2

，即AD=

2

2

AC，
∴EM+FN=

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