总经理的怪题是什么？

Answer 1

7.11是美国的一个连锁店的名字，该连锁店经营食品和一些日常用品。一天，该店的总经理出了一道题，他问：“有一个顾客，买了四样小商品，这四样商品价格加起来恰是7.11美元，而这四样商品的价格的乘积也恰是7.11美元，请问，这四样商品的价格分别是多少？”

［答案：根据原题可以写出这样一个不定方程：

A+B+C+D=7.11

A×B×C×D=7.11

该不定方程有两个方程式组成，有四个未知数，用一般解方程方法是无法得到未知数的解的（这也是为什么这种方程被称为不定方程）。解不定方程，需要用题目中给与的或明确或隐含的条件来辅助解决。

人们不习惯于小数的运算，因此，可以把该方程转化为整数：

A+B+C+D=711

A×B×C×D=711000000

首先，要从这711000000着手，711000000等于79×5×5×5×5×5×5×3×3×2×2×2×2×2×2，ABCD必定分别是它们某几个之间相互的乘积。这里隐含的已知条件是：ABCD，均是正整数，在数值在1到711间（确切地说，ABCD每个数都不小于1，不大于708）。

注意上述的分解出的乘数中，比较突出的数字是79，它只出现一次，且最大，是破案中最明显的目标。在ABCD中，其中一个必含有79（是79的倍数）。因为上面我们说过，ABCD任何一个数，包括该含有79的数不能大于711，那么该含79的数字小于711的可能的值有6个，从大到小分别是79×3×2=474，79×5=395，79×2×2=316，79×3=237，79×2=158，及79本身。看，我们一下就把侦破的范围缩小到六个数中，该问题的答案中的含有79的那个数，就在这六个数之中。

让我们分别来看，看这六个可能的数，是否可以满足作为方程的解的要求。

第一个，看看474。711000000除掉474（79×3×2）后，剩下的数是5×5×5×5×5×5×3×2×2×2×2×2，这些数字要组合成三个数，这三个数的和要等于711－474=217。我们知道，由乘数分别组合来的几个数，在它们数字最接近时，其和最小。例如，2×2×2×2×2×2组合成两个数字时，只有在组合成2×2×2和2×2×2时，它们的和最小，为16，其它的任何组合成两数的和，都大于16（例如，2×2×2×2+2×2=20）。我们可以看到，5×5×5×5×5×5×3×2×2×2×2×2能组合成的和为最小的三个数（最为接近的三个数）是100，120，125，而它们的和是345，大于所要满足的217。因此，无论它们如何组成三个数，都只可能大于217，而不可能满足等于217的作案条件/解题条件，那么问题出在哪里呢？问题出在，79×3×2=474不可能是该题的解，即474不是ABCD中的任何一个，因为如果ABCD其中一个是474，其它数无论如何组和，都不可能满足那两个方程式。这样，我们可以排除474。

第二个，看看395（79×5）。用同样的分析，我们可以看到，711000000除去395后，所余下的数，能组成的和为最小的三个数是120，120，125，其和为365，大于所要的711－395=316。同样道理，395也可以排除在嫌疑之外。

第三个，看看316（79×2×2），当然还用同样的分析方法。哈，这次猜猜会有什么样的结果呢？呵呵，这次我们的运气实在是好，阳台上花盆不小心掉下去，正砸在楼下撬窗准备入室行窃的小偷脑袋上。711000000除去316后，余下的数组合成的和为最小的三个数为120，125，150，而120+125+150=395恰等于711－316。结果，在排除疑犯时，一不小心，歪打正着，我们抓住了正在作案的家伙，316，120，125，150恰是满足原题条件的一组解。而且，在一个数是316的情况下，除了120，125，150外，其它组合成的三个数都要大于395，因而，在一个数是316的情况下，只有这一组解。

抓住一组案犯，但是否还有其它案犯存在呢？换成数学语言是，这组解是否是唯一解呢？

六个可能的含有79的值，我们分析了三个，还剩下三个。这剩下的三个数，我们也要排查一下。

第四个，看看237（79×3）。这次，用上面的方法就不灵了，因为在下面这三个数字，被711000000除后的数值，组成三个数的最小和，可以小于711减该数的差值。这次，我们用新方法。如果四个数字中，一个是237，那么余下的三个数值之和应该是711－237=474。我们再看看711000000除以237后，得到5×5×5×5×5×5×3×2×2×2×2×2×2，注意其中的六个5。如果这三个数值都含有5，那么其和必定也可以被5整除。但474是不能被5整除的，说明至少一个数值之中不含有5。是否可能只有一个数值中含有5呢？我们看六个5相乘等于15625，远大于所要求的三个数值之和474，所以这六个5不可能完全在一个数值中。同样，一个数值中也不可能有五个5相乘（得3125），也不可能有四个5相乘（得625）。所以，可能的情况只有，在含有5的两个数值中，一个数值中有三个5，而另一个数值中也有三个5。这样，这两个数字只可能是125或125×2（不可能是125×3，因为125×3+125大于474）。于是，我们只有两组可能的值，一个是125，125，192，另一组是125，250，96。这两组值，其和都不是474，它们都不是我们的题解。排除！

第五个，看看158（79×2）。158也不能被5整除，所以我们仍然可以用上面的方法。过程就不罗嗦了，得到可能的四组值分别是125，125，288；125，250，144；250，250，72；125，375，96。同样，没有一组的和等于711－158，所以，158也是清白的。

第六个，也是最后一个，看看79。79也不能被5整除，我们可以依样画葫芦，略去过程，得到六组值，分别是：125，125，576；125，250，288；250，250，144；125，500，144；125，375，192；250，375，96。我们高兴地看到，它们也都不满足要求（三者之和要等于711-79），所以，79也是清白的。

回首看看，在六个可能的含79的值中，只有316是满足条件的，且发现了一组解，316，120，125，150，且是唯一的一组解。

不要忘了，为了计算方便，我们去掉了小数点，我们还要把小数点加回去。

最终答案：这四种商品的价格分别是：3.16美元，1.20美元，1.25美元，和1.50美元。］