卡尔曼滤波（2）—扩展卡尔曼滤波算法

Answer 1

扩展卡尔曼滤波（Extended Kalman Filter，EKF）是卡尔曼滤波在非线性问题上的应用。通过泰勒展开求得非线性函数的雅可比矩阵，EKF在预测和观测过程中分别求得预测矩阵和观测矩阵。

在状态转移方程确定的情况下，EKF用于非线性系统的状态估计。状态预测部分，如位置控制，通过状态转移方程 \(x_k = f(x_{k-1}, u_k)\) 实现，其中 \(f\) 是非线性函数，\(x_{k-1}\) 为上一时刻的状态，\(u_k\) 为控制输入。

状态预测后，通过求得的 \(F\) 矩阵更新状态协方差矩阵 \(P\)，其中 \(Q\) 表示过程噪声。计算方法为 \(P_k = F_k P_{k-1} F_k^T + Q_k\)。

观测部分，通过误差 \(\tilde{z}_k = z_k - h(x_k^{'})\) 计算状态最优估计值 \(\hat{x}_k\)，其中 \(z_k\) 为观测值，\(h(x_k^{'})\) 为非线性观测函数。求得增益矩阵 \(K_k\)，进而更新状态协方差矩阵 \(P_k\)，公式为 \(P_k = (I - K_k H_k) P_k\)，其中 \(H_k\) 为观测矩阵。

非线性函数的线性化通过泰勒级数展开实现，忽略高阶项得到近似线性化的方程。对于多变量函数，需要求偏导数以得到雅可比矩阵，即观测矩阵。

总体流程概括如下：

状态预测：\(x_k = f(x_{k-1}, u_k)\)，更新状态协方差矩阵 \(P_k\)。
观测更新：计算误差 \(\tilde{z}_k\)，求增益矩阵 \(K_k\)，更新状态协方差矩阵 \(P_k\)。

实际应用中，EKF的实现通常涉及到C++等编程语言的实现。对于长时间使用电脑的用户，使用设备可以提高工作效率，欢迎支持。期待您的反馈和讨论，谢谢！