网上看到两道题（另一道在图里）非常有意思，但没人理睬，恐好问题浪费了。故此再列出来，求高手赐教。

Question

本人事先声明，决不会提了问题后，耍流氓不采纳优秀答案。只要过程详细清晰一定又分。
1）已知中心在原点O，焦点在X轴上，离心率为√3/2的椭圆过点（√2，√2/2）。设不过原点O的直线L与该椭圆交于P,Q两点，满足直线OP,PQ.OQ的斜率依次成等比数列，求△OPQ的面积的取值范围。
非常感谢解决了这道几何题，可能否把第一问也解出来吗？

Answer 1

1解：
设椭圆为x²/a²+y²/b²=1,(a>b>0)，c²=a²-b²,(c>0)
则：(√2)²/a²+(√2/2)²/b²=1，离心率e=c/a=√3/2；解之：a=2，b=1，c=√3
故：椭圆为x²/4+y²=1 ；
由直线OP,PQ,OQ的斜率依次成等比数列，可知三直线的斜率均存在，分别设为K1，K2，K3
故：(K2)²=K1K3
令椭圆上的点P(2cosm,sinm)，Q(2cosn,sinn)；(m≠±n)
则：K1=tanm/2，K2=(sinm-sinn)/[2(cosm-cosn)]，K3=tann/2
有K2=(sinm-sinn)/[2(cosm-cosn)]=2sin[(m-n)/2]cos[(m+n)/2]/{2(-2sin[(m+n)/2]sin[(m-n)/2]}
=-cot[(m+n)/2]/2
故：cot²[(m+n)/2]/4=tanmtann/4
即：[1+cos(m+n)]/[1-cos(m+n)]=[cos(n-m)-cos(n+m)]/[cos(n-m)+cos(n+m)]
化简有：cos(m+n)/[1-cos(m+n)]=-cos(m+n)/[cos(n-m)+cos(m+n)]
当cos(m+n)≠0时，有cos(n-m)=-1，则n-m=π，即PQ过原点，不符合要求。
故cos(m+n)=0，则|sin(n-m)|=1；
又向量OP=(2cosm,sinm)，向量OQ=(2cosn,sinn)；
则S△OPQ=|2cosmsinn-2sinmcosn|/2=|sin(n-m)|=1
注：此题是一道不错的题，考了很多知识点，上述方法是较为简单的一种，计算量不大，但用到了和差话积、积化和差、三角形面积向量公式等等知识点。如不熟悉这些公式，可上百度查询。又因为三直线斜率成等比数列，这一条件很强，求出来的面积是一个特值，是正确的。
2证明：∵△ABD∽△GAD ∽△GCE
∴AD/AB = DG/AG=GE/GC 则AD/AB=(DG+GE)/(AG+GC)=DE/AC
∴AD=DE
又∵AB² = BD*BG，即(√2OB)² =BD*BG 有2OB²= BD*BG
OB*OC= BD*BG
角GBC=角OBD
∴△DBO∽△CBG
∠BDO=45°
DF平分∠ADE
∴△ABD≡△ACF
∴BD=CF

Answer 2

2题：△ABD∽△GAD ∽△GCE
∴AD/AB = DG/AG=GE/GC
AD/AB=（DG+GE）/（AG+GC）=DE/AC
∴AD=DE
又∵AB² = BD×BG
即（√2OB)² = BD×BG
2OB²= BD×BG
OB×OC= BD×BG
共有角GBC
所以△DBO∽△CBG
∠BDO=45°
DF平分∠ADE
所以：△ABD全等于△ACF
所以BD=CF

1题在网上可搜到解答过程;
椭圆方程为 :x²/4 +y² = 1
由题意可知，直线l的斜率存在且不为0
故可设直线l的方程为 y＝kx＋m (m≠0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
由 消去y得
(1＋4k2)x2＋8kmx＋4(m2－1)＝0，
则Δ＝64 k2b2－16(1＋4k2b2)(b2－1)＝16(4k2－m2＋1)＞0，
且 ， ．
故 y1 y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2．
因为直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，
所以 ＝ ＝k2，
即 ＋m2＝0，又m≠0，
所以 k2＝ ，即 k＝
由于直线OP，OQ的斜率存在，且Δ＞0，得
0＜m2＜2 且 m2≠1．
设d为点O到直线l的距离，
则 S△OPQ＝ d | PQ |＝ | x1－x2 | | m |＝ ，
所以 S△OPQ的取值范围为 (0，1)．