闭包的离散数学中

Answer 1

“关系”的闭包（Closure)
离散数学中，一个关系R的闭包，是指加上最小数目的有序偶而形成的具有自反性，对称性或传递性的新的有序偶集，此集就是关系R的闭包。
设R是集合A上的二元关系，R的自反（对称、传递）闭包是满足以下条件的关系R'：
（i）R'是自反的（对称的、传递的）；
（ii）R'⊇R；
（iii）对于A上的任何自反（对称、传递）关系R，若R⊇R，则有R⊇R'。
R的自反、对称、传递闭包分别记为r(R）、s(R) 和t(R）。
性质1
集合A上的二元关系R的闭包运算可以复合，例如：
ts(R)=t(s(R))
表示R的对称闭包的传递闭包，通常简称为R的对称传递闭包。而tsr(R)则表示R的自反对称传递闭包。
性质2
设R是集合A上的二元关系，则有
（a）如果R是自反的，那么s(R）和t(R）也是自反的；
（b）如果R是对称的，那么r(R）和t(R）也是对称的；
（c）如果R是传递的，那么r(R）也是传递的。
性质3
设R是集合A上的二元关系，则有
（a）rs(R)=sr(R）；
（b）rt(R)=tr(R）；
（c）ts(R)⊇ st(R）。