抽象代数：证明n次对称群Sn是一个阶为n!的有限群。

Question

我只知道{X1、X2、X3、、、、Xn}有 A(n,n)=n!种组合。n取n的排列。

Answer 1

综述如下：

构建一个对应：取σ属于Sn,σ（1,2，……，n）＝（σ（1),σ（2),……σ（n））。由于必定存在另外一个υ属于Sn使得συ＝υσ＝e.所以（σ（1),σ（2),……σ（n））必定为1,2,……n的一个排列，而且这个对应是一个同构，即给定一个σ对应一种排列，反过来给定一种排列可以定义一个σ属于Sn。

抽象代数包含群论、环论、伽罗瓦理论、格论、线性代数等许多分支，并与数学其它分支相结合产生了代数几何、代数数论、代数拓扑、拓扑群等新的数学学科。抽象代数也是现代计算机理论基础之一。

抽象代数简介

抽象代数（Abstract algebra）又称近世代数（Modern algebra），它产生于十九世纪。伽罗瓦（1811 ~ 1832）在1832年运用「群」的概念彻底解决了用根式求解多项式方程的可能性问题。他是第一个提出「群」的概念的数学家，一般称他为近世代数创始人。他使代数学由作为解代数方程的学科转变为研究代数运算结构的学科，即把代数学由初等代数时期推向抽象代数。

Answer 2

构建一个对应：取σ属于Sn, σ（1,2，……，n）=(σ(1),σ(2),……σ（n）).由于必定存在另外一个υ属于Sn使得συ=υσ=e.所以(σ(1),σ(2),……σ（n）)必定为1,2,……n的一个排列，而且这个对应是一个同构，即给定一个σ对应一种排列，反过来给定一种排列可以定义一个σ属于Sn.
因此Sn中含有元素恰好就是排列种类的个数即n!个。

追问

我对概念不是很清楚，如M={X1、X2、X3}
变换群G={F1、F2、F3}
F1为:X1-->X1 X2-->X2 X3-->X3
F2为:X1-->X1 X2-->X3 X3-->X2
F3为:X1->X2 X2-->X1 X3-->X3

观察得:G为双射变换群。

==>G中的单位元为F1 |G|=3
|M|=3 3!=6 不等于3
有矛盾。

追答

你这个群运算都不封闭，你看看你的F2和F3符合之后变成了什么了？
F2F3:X1----X3; X2-----X1,X3-----X2都不在你所谓的变换群G中。你对群的定义概念没有理解透。先把书翻出来看看定义就知道了。