奥数。急！轮胎问题

Question

三轮摩托车有前、左后、左右三个车轮。把轮胎放在前轮可行驶45000千米，放在左后轮可行驶20000千米，放在右后轮可行驶36000千米。现有一辆刚刚换上新车胎的三轮摩托车，可以在恰当的时候将两个轮胎兑换，那么
（1）三轮摩托车最多可以行使几公里而不需购买新的轮胎？请写出过程
（2）在这期间最少需要兑换几次轮胎？请写出过程
（3）详细叙述在行驶多少公里之后如何对调这些轮胎

Answer 1

(1) 三轮摩托车最多可以行使 3/(1/45000+1/20000+1/36000) = 30000 公里而不需购买新的轮胎

(2), 最少需要兑换3次轮胎

(3) 三个轮胎 = 轮胎A, 轮胎B, 轮胎C. ( A - 10, 轮胎A行驶10000千米 )

前轮 左后 右后
A - 10 B - 10 C - 10 A(10/45) B(10/20) C(10/36)
C - 10 A - 10 B - 10 A(10/45+10/20) B(10/20+10/36) C(10/36+10/45)
B - 10 C - 10 A - 10 A(10/45+10/20+10/36) B(10/20+10/36+10/45) C(...)

Answer 2

（1）
45000(a),20000(b),36000(c)的最小公倍数是180000，由此可知每行驶180000千米需要4*a+9*b+5*c共18条新轮胎，所以3条新轮胎最大可行驶180000/(18/3)=30000千米。
（2）
分2批共6次，如下
（3）
10000千米后a->位置b,b->位置c,c->位置a
20000千米后a->位置c,b->位置a,c->位置b
30000千米后a,b,c均消耗10/45+10/36+10/20=1，即3条新轮胎同时报废，共行驶30000千米。

追问

我想问一下，第二题你说的分两批共六次是怎么得来的

追答

下面吴长霓同学分析的比较透彻。

追问

但是你和他的答案不一样啊。。。是你错了还是他错了

追答

对不起，我错了:(

Answer 3

1. 前、左、右的磨损率分别为1/45000每千米、1/20000每千米、1/36000每千米，总共磨损率加起来就是1/10000每千米，用三只轮胎除以总磨损率，就是30000千米。
2. 三个轮位分别要消耗2/3、3/2、5/6个轮胎，只有左后轮消耗轮胎数大于1，因此至少需要另两个轮位与左后轮分别调换一次，就是换两次。
3. 设分别在x公里和y公里后调换轮胎，得到方程
x/20000 + (30000-x)/45 =1
x/45000 + (y-x)/20000 + (30000-y)/36000 =1
y/36000 + (30000-y)/20000 =1

解得x=12000，y=22500
即12000公里处前轮与左后轮交换，22500公里处左后轮与右后轮交换。

追问

第二题的2/3、3/2、5/6是怎么来的？

追答

用总里程数乘以磨损率。