Hamilton函数

Question

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Answer 1

混沌是非线性系统的固有现象。电力系统是典型的非线性系统，存在着复杂的混沌振荡，它威胁着系统的安全稳定运行。本文利用混沌控制方法之一——延迟反馈法(DFC)控制电力系统混沌振荡，利用Melnikov方法确定延迟时间和反馈系数。数字仿真结果表明，选择适当的延迟时间和反馈系数能够镇定系统的不稳定周期轨道(UPO)、消除混沌，并能使系统从失稳状态进入稳定状态。由于不需要外加参考信号，延迟时间与UPO的周期无关，不必是UPO周期的整数倍，所以该方法简单易行。
关键词：混沌振荡；延迟反馈控制；电力系统稳定性

CONTROLLING POWER SYSTEM CHAOTIC OSCILLATION BY
TIME-DELAYED FEEDBACK

ABSTRACT: Chaos is an inherent phenomenon of nonlinear systems. Power system is a typical nonlinear system where complicated chaotic oscillations exist and threaten the secure and stable operation of power systems. Here, the power system chaotic oscillation is controlled by one of chaotic control ways, i.e., time-delayed feedback control (DFC), and the delayed time and gain coefficient are determined by Melnikov’s method. Simulation result shows that choosing proper delayed time and gain coefficient the unstable periodic orbits (UPO) of the system can be ballasted and the chaos can be eliminated, and the system can be changed from unstable to stable. Because the additional reference signal is not necessary, the delayed time is not related to the period of UPO and should not be the integral multiple of the period of UPO, so the presented method is simple and easy to apply.
KEY WORDS: Chaotic oscillation；Time-delayed feedback control； Power system stability

1 引言
电力系统是典型的非线性系统，具有复杂的动 力学行为，如混沌和分岔，它们对电力系统构成了潜在的威胁，已引起国内外学者的高度重视[1]。
混沌是由确定性非线性系统产生、对初值极为敏感、具有内在随机性和长期预测不可能性的往复非周期运动。随着人们对混沌现象认识的深入，混沌的控制方法应运而生。自从20世纪90年代初出现了混沌控制的OGY(Ott，Grebogi，Yorke)法(参数扰动法)以来，混沌控制受到广泛的关注，相继出现了偶然比例反馈(Occasional Proportional Feedback，OPF)、自适应控制、线性反馈控制、自控制反馈控制等方法 [2]。在这些方法中，由K. Pyragas提出的延迟反馈控制法(Time-delayed Feedback Control，DFC)具有广泛的适应性，它利用简单的反馈来镇定混沌吸引子不稳定的周期轨道(Unstable Periodic Orbits，UPO)，既适用于低维系统混沌的控制，也适用于高维系统和无限维延迟微分动力系统混沌的控制，甚至可用于时空混沌的控制[3]。
研究电力系统混沌控制的论文目前尚不多见，文[4]、[5]分别采用变量直接线性反馈和非线性系统的逆系统法控制混沌，但前者需要确定目标轨道，后者实现起来有一定的难度。本文采用延迟反馈控制法研究电力系统混沌控制，它避免了目标轨道的确定，控制器简单，易于工程实现。其中的延迟时间和反馈系数可通过Melnikov方法来确定。仿真结果表明，该方法具有较好的镇定效果。

2 电力系统振荡的混沌性态

式中 δ、ω为等值发电机的功角和角速度增量；H、D为等值转动惯量和等值阻尼系数；Ps、Pm为电磁功率和机械功率；Pe为扰动功率幅值；β为扰动功率的频率。
式(1)中，取H=100、Ps=100、D=2、Pm=20、β=1[7]，用MATLAB中的simulink进行仿真，图1、图2是Pe=27.545和Pe=27.546时的系统相平面和 曲线。图1表明当扰动达到一定幅度时系统处在混沌状态，其轨道运动是遍历的，功率谱密度是频率的连续函数[5]。图2表明当扰动幅度Pe再有个微小增加，系统的δ(t) 将不断增大，系统失去稳定。如何消除上述混沌现象、保证系统稳定运行是本文研究的内容。

3 延迟反馈控制
延迟反馈控制器为

式中 ω(t)、ω(t-τ) 分别为角速度增量及其延迟量；τ为延迟时间；K为反馈系数。将式(2)直接加到式(1)的第2式后，得

式(3)是把输出信号以特定的方式反馈给输入信号来实现控制，该反馈以输出信号与延迟输出信号之差作为控制信号，反馈控制框图如图3所示[2]。这种反馈仅需要一条延迟线，它的反馈增益矩阵可以是奇异矩阵，其可控性分析见文献[8]。这种反馈控制方法的可行性在于：当对某个变量进行负反馈操作时，抑制了该变量中所包含的各个不稳定模的发散性质。由于所有不稳定模在该变量方向上都有分量，该单一变量上的负反馈就有可能有效地抑制所有不稳定模，从而达到稳定目标状态的目的。

4 延迟时间τ 和反馈系数K的确定
为实现所期望的UPO稳定化，在实验中仅需调节延迟时间τ 和反馈系数K，但要确定这两个参数并非易事[2]。文献[8-11]指出延迟时间τ 必须是UPO周期的整数倍，文献[9]还给出了一种控制自治系统混沌时τ 的计算方法。然而，文献[3]根据Melnikov方法分析延迟反馈控制的机理，得出τ 不必是UPO周期的整数倍，它与UPO的周期无关的结论，从而给τ 和K的确定带来方便。下面根据这一方法，求取利用延迟反馈来控制式(1)描述的系统混沌时的延迟时间τ和反馈系数K。

这样，便可应用Melnikov函数对系统进行分析。当ε=0时，Hamilton系统为

其Hamilton量(或称Hamilton函数)为

式(7)是一能量函数，代表等值发电机的动能，1-cosx 代表势能，h代表能量常数。
式(6)的中心点为(0，0)，并有点p1=(-π，0)和点p2=(π，0)粘合而成的双曲鞍点。当h=2时，存在两条联结双曲鞍点的同宿轨道，其参数方程为[12]

则式(5)描述系统的Poincaré映射在不动点p1的不稳定流形与不动点p2的稳定流形将横截相交。
对于,其Melnikov函数为

如果

则系统(5)的Poincaré映射在不动点p1的稳定流形与不动点p2的不稳定流形将横截相交。如果系统参数同时满足式(10)和式(12)，即

如果选择参数τ和K不满足上述关系，则混沌产生的条件被破坏，稳定流形和不稳定流形不再横截相交，从而消除混沌。而且，延迟时间τ 不必是UPO周期的整数倍，它与UPO的周期无关。
从 Ψ(τ1)曲线(如图4所示)可知，当τ1≥0.013s时，延迟反馈的作用明显，较小的反馈增益可获得较好的控制效果。

5 数字仿真结果
下面对式(3)描述的系统进行数值仿真。仍采用式(1)的数据，如果取τ1=0.013s，则τ=τ1.根据式(14)，当K≥0.26时，系统的混沌将被破坏，受控系统由混沌状态转为周期状态，系统进入稳态后出现稳定的周期1运动(如图5所示)，采用同样的反馈参数还能使失稳的系统进入稳定的周期1运动(如图6所示)。

6 结论
延迟反馈控制可以镇定电力系统的混沌运动，它取当前信号与τ 时间以前的输出信号之差作为反馈信号的来源，无需外加参考信号。由于延迟反馈产生一个作用明显的扰动项，使得稳定流形和不稳定流形不再横截相交，从而达到控制混沌的目的。
在控制电力系统混沌振荡时，不需要对系统模型中的所有方程施加延迟反馈，反馈增益矩阵可以是奇异的。延迟时间τ不必是UPO周期的整数倍，它与UPO的周期无关。所以，本文提出的方法简单有效，用简单的模拟电路即可实现[11]。

参考文献

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