希腊数学简史

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古希腊的数学家对世界思想和所有依赖于这一知识基础的实践学科做出了巨大的贡献，从几何到工程，从天文学到设计。最初受到埃及人的影响，希腊数学家将继续取得突破，例如毕达哥拉斯的直角三角形理论，并通过关注抽象，使古老的数学问题变得清晰和精确。他们的解决方案提供了基本的数学构建块，直到今天，所有未来的数学家和科学家都将以此为基础。

早期影响

希腊数学的诞生得益于其一些邻国的影响，尤其是埃及。在埃及第 26 王朝（公元前 685-525 年）期间，尼罗河港口首次对希腊贸易开放，希腊重要人物如泰勒斯和毕达哥拉斯带着新的技能和知识访问了埃及。爱奥尼亚除了受到埃及的影响外，还通过其邻居吕底亚王国接触到美索不达米亚的文化和思想。

几个世纪后，在希腊化时期，亚历山大大帝征服东方后，希腊天文学蓬勃发展。巴比伦和迦勒底文化的天文知识为希腊人提供，他们通过系统地利用它来获利。这导致了许多希腊数学工具的进步，例如使用以 60 为基数的数字系统，这使得希腊人可以将圆分成 360 度。使用 60 作为数学系统的基础并不是一个小问题：60 是一个有许多除数的数字（1、2、3、4、5、6、10、12、15、20、30、60） ，这使得更容易处理涉及分数的计算。

埃及对希腊数学的影响也可以从关键希腊数学术语的词源中看出。著名的希腊地理学家斯特拉博解释了几何一词（字面意思是“土地测量”）的起源如下：

尼罗河的洪水反复带走和增加土壤，改变了景观的配置，并隐藏了将一个人的土地与其他人的土地分开的标记。必须一遍又一遍地进行测量，他们说这是几何的起源......（Strabo，Geography 17.1.3）

早期成就

希腊人是如何设法将他们的数学知识提升到比埃及人更先进的地步的，埃及人是一个古老得多的文明？早在公元前 3500 年，埃及（以及巴比伦）的计算是世界上最好的。埃及人将他们的数学知识主要用于工程目的；没有它，建造大金字塔和其他令人叹为观止的纪念碑是不可能的。

希腊人从埃及数学中得出的主要是具有特定应用的经验法则。例如，埃及人知道，边比为 3:4:5 的三角形是直角三角形。这是因为，为了形成直角，实用主义的埃及土地测量师使用一根绳子分成十二等份，形成一个三角形，一边三部分，另一边四部分，另一边五部分。在三单元侧与四单元侧连接处找到直角。这是形成直角的一种非常实用的方法。埃及人如何想出这种方法没有记录。我们也没有与此问题相关的进一步分析的埃及记录。埃及人太实际了，无法详细分析这一点。显然，他们的兴趣仅在于这种方法的实际应用。一位来自爱奥尼亚的希腊本地人看着这个 3:4:5 的三角形，看到了其他人似乎没有注意到的东西。他的名字是毕达哥拉斯，他将这个 3:4:5 的三角形问题延伸到其逻辑极限，引发了一场知识革命。

毕达哥拉斯（公元前 571 年 - 公元前 497 年）是一个特殊运动的领导者和创始人，其追随者被称为毕达哥拉斯。该学派的成员确信宇宙可以用整数来描述：1、2、3、4 等。基于埃及人已知的 3:4:5 三角形，毕达哥拉斯提出了一个数学定理以他的名字命名的：在直角三角形中，当两个较小边上竖立的正方形的面积加在一起时，它们等于竖立在最长边上的正方形的面积，与直角相对的边（斜边） ）。需要注意的是，希腊人最初是用几何对象而不是数字来表述这个定理的。

为什么这个定理如此重要？因为它展示了一些重要技术的发展。

的 抽象的技术的基础上，忽略物理考虑被视为仅仅是偶然的。无论是绳索、木头还是其他任何实物都无关紧要。这完全是关于以角度连接的“直线”的特性，仅此而已。这些线条只是心理结构，是解决问题所必需的唯一实体。抽象的过程是摆脱所有非本质元素，只考虑基本元素。

泛化技术，它是关于开发具有广泛应用的一般原则，而不是具有特定用途的规则。毕达哥拉斯提出的定理不仅适用于 3:4:5 三角形，而且适用于任何其他直角三角形，无论其尺寸如何。此外，定理表明三角形是直角三角形当且仅当最长边的平方与其余两条边的平方和相匹配：直角位于两条较短边相交的地方。

演绎推理的艺术。这是关于拥有一组初步的一般陈述或前提，并通过计算其逻辑含义得出结论。

论证演绎论证 意义上的数学。通过结合演绎推理和概括，数学不再被视为一组静态的规则，而是一个能够进行复杂发展的动态系统。

我们要归功于毕达哥拉斯，或者也许是他的追随者，这些希腊在数学领域的重要创新。

毕达哥拉斯人在数学中发现的美丽与和谐是如此强大，以至于希腊科学最终被强烈的数学偏见所污染。换句话说，希腊人开始相信演绎推理在数学中取得了令人难以置信的成功，也是获得其他学科知识的唯一可接受的方式。观察被低估了，演绎成为王道，希腊科学知识几乎在精确科学之外的每个分支中都被引入了死胡同。从盖伦的一句话中可以看出这种对数学的高估：

时间使悲伤和其他情绪改变和停止，而仅仅时间的流逝曾让任何人相信他已经受够了“两倍二等于四”或“一个圆的所有半径都相等”并让他改变主意关于这样的信念并放弃它们？（盖伦，论希波克拉底 和柏拉图的学说4.7.43）

第一次数学危机：2的平方根

毕达哥拉斯定理成立后，提出以下问题：如果我们有一个正方形，每条边的长度都是一个单位，并且我们还有第二个正方形的面积是第一个正方形的两倍，那么第二个正方形的边会如何？正方形与第一个正方形的边比较？这就是关于 2 的平方根问题的起源。

我们今天知道 2 的平方根是一个无理数，这意味着它不能用任何简单的分数表示。然而，希腊人并没有意识到这一点，所以他们一直试图解开这个谜团并得出一个有效的答案。毕达哥拉斯学派拼尽全力也解不开这个谜题，他们终于面对现实，即两个整数的比值都无法表达 2 的平方根的值。

毕达哥拉斯学派小心翼翼地保守着无理数的秘密。原因是这个秘密在毕达哥拉斯信仰的根源中造成了某种危机。有一个有趣的记述（其历史准确性不确定）是关于毕达哥拉斯学派的一名成员显然向兄弟会以外的人泄露了秘密。叛徒被抛入深水中淹死。这一事件有时被称为科学的第一位殉道者。然而，我们也可以将这个人视为众多迷信殉道者之一，因为这起凶杀案的根本原因并不是无理数的科学方面，而是其宗教推断被视为对毕达哥拉斯神秘主义的基础。

无理数的危机促使人们创造了近似 2 的平方根值的巧妙方法。 其中最好的例子之一是下表中描述的方法：

在多次尝试求出 2 的平方根的值都没有成功之后，希腊人别无选择，只能接受算术不能成为数学的基础。他们不得不去别的地方看看，所以他们研究了几何。

欧几里得系统

欧几里得（公元前 325 年至公元前 265 年）是一位住在亚历山大港的古希腊数学家。他熟悉在他之前的所有希腊数学工作，因此他决定将所有这些知识组织在一个连贯的工作中。这本书被我们称为元素，是有史以来第二畅销书，仅次于圣经。

Elements主要因其几何形状而被人们记住。第一本书的开篇以对基本几何的不同定义开始：

1.点是没有部分的。

2.线是无宽度的长度。

3. 线的端点是点。

4. 直线是一条与自身上的点齐平的直线。

5. 面是只有长和宽的面。

6. 表面的末端是线。

（欧几里得，定义 1 到 6）

元素 的内容中没有欧几里得的原创（他只是一个编译器）。然而，作品的命题顺序和整体逻辑结构在很大程度上是欧几里德的创造。毫无疑问，这是有史以来最重要和最有影响力的书籍之一，也是希腊知识传统的杰作。

从现代科学知识的角度来看，元素有一些缺陷。首先，它完全依赖于演绎（根据一组假定的不言自明的概括得出结论），在其中找不到任何归纳的痕迹（从对特定事实的观察开始并从中得出概括）。其次，它遵循一个逻辑顺序，其中的所有定理都可以通过使用先前证明的定理来证明。这个逻辑序列将我们引向一组无法证明的初始假设。这些假设被欧几里得认为是不容置疑的，这意味着它们是如此明显以至于不需要证明。这种结构的类比是一个链条，其中每个环节都需要连接到另一个环节，但初始环节只是悬挂，无处连接。

提利安问题

除了2的平方根取值外，还有一个著名的问题困扰着希腊人：立方体的重复。传说是这样说的：

阿波罗 的神谕告诉德尔福斯的人民，为了摆脱瘟疫，他们应该为他建造一座两倍于现有祭坛的祭坛。（士每拿的席恩，论麦基翁数学的用处）

建筑师不知道如何解决这个问题。祭坛的形状是立方体，人们可能会想到的第一个想法是简单地将祭坛的四面翻倍，但这会导致祭坛是原来的八倍，而不是原来的两倍。解决这个问题的正确方法是问：如果我们想让新祭坛的体积是原祭坛体积的两倍，那么新祭坛的每一边应该有多长？这是关于确定 2 的立方根的值，这也是一个无理数。这个问题在几何中引起的困惑与 2 的平方根在算术中引起的困惑相同。

包括柏拉图在内的希腊数学家提出了这个问题，并对其进行了几个世纪的研究，产生了大量令人钦佩的工作。这里的核心问题是能够确定 2 的立方根。

数学严谨性在希腊数学中的重要性

希腊人明白一些埃及人无法理解的东西：数学严谨性的重要性。例如，古埃及人将圆的面积等于边是圆直径的 8/9 的正方形的面积。从这个计算来看，数学常数pi的值为256/81。这是一个非常准确的计算（大约有一半的误差），但在数学上是不正确的。然而，就埃及工程而言，这半个百分点的错误实际上并不重要，否则他们令人印象深刻的纪念碑早就倒塌了。然而，忽略这半个百分点的误差会忽略 pi 真值的一个基本属性，即没有分数可以表达它。也是一个无理数。

埃及人还四舍五入其他数字，例如 2 的平方根的值（分数为 7/5）。通过使用四舍五入的值，埃及人没有注意到这些数字的非理性性质。希腊人痴迷于数学的严谨性；对他们来说，围捕还不够好。他们承认数学语言的准确性。

通过不放弃对数学准确性的追求，希腊人发展了一种数学知识，这与天文学一起可能是他们智力成就中最令人钦佩的丰碑。