高二不等式问题2

Answer 1

在高二数学中，不等式问题2涉及到正实数ab与a+b=2。我们需要证明的是3^a+3^b<10。为了解决此问题，我们首先将表达式重写为3^a+3^2-a。接着，引入变量X，表示3^a，从而将原问题转换为一个更易于处理的形式。

已知a+b=2，可得出b=2-a。根据对数的性质，我们有3^b=3^2-a。由于ab均为正实数，X=3^a同样为正数。进一步分析，我们注意到X与3^b代表的是同一个值，即3^a。这样，原不等式可以简化为2X<10，即X<5。

接下来，我们回到原变量，即3^a<5。为了证明此不等式，我们需要理解指数函数的增长性质。由于3^a是基于3的指数函数，且3是一个大于1的底数，该函数在实数域上是严格递增的。因此，只要a的值在合理范围内，3^a将始终保持增长趋势。关键在于找到一个合适范围内的a值，使得3^a<5成立。

考虑到a+b=2，我们可以将问题转换为在合理a值范围内探讨3^a<5的成立性。由于3^a的递增性，a的取值范围应满足a<log₃5）。因为log₃5是一个确定的值，大于1但小于2（具体值约为1.465）。这意味着，只要a位于（0, log₃5）区间内，3^a<5总是成立的。

最后，我们回到原不等式3^a + 3^b<10的证明。通过上述分析，我们知道3^a<5，且由于b=2-a，3^b同样满足同样的不等式，即3^b<5。因此，3^a + 3^b<10。此证明通过合理变换变量、利用指数函数的性质以及对数的计算，成功地证明了原不等式的正确性。