抽象代数基本概念

Answer 1

本文使用 Zhihu On VSCode 创作并发布

电信类专业在研究生阶段会学习随机过程，这门课的概率论以实变函数、测度论为基础，而学习测度论的过程中无可避免地会遇到一些抽象代数的概念，本文对相关概念进行简单总结

终极总结: 群是一些有基本对称性的东西，域是一些像实数复数的东西，环是一些像多项式、矩阵的东西

群

在数学中，群（group）是由一种集合以及一个二元运算所组成的代数结构，并且符合“群公理”。群公理包含下述四个性质，分别是封闭性、结合律、单位元和对于集合中所有元素存在逆元素。群是一些有对称性的东西

定义

群[公式]是由集合G和二元运算"·"构成的，[公式]。符合以下四个性质（称“群公理”）的数学结构。其中，二元运算结合任何两个元素a和b而形成另一个元素，记为a·b，符号"·"是具体的运算，比如整数加法。

四个群公理为:

[公式]

域

域是一些像实数复数以及定义在上面的像加法、乘法的东西。更严格来说，有如下规定

域由集合F以及定义在上面的两种二元运算代数结构构成，即[公式]，它满足如下八条公理(线性空间也是八条公理，这八个公理很像)。对 [公式]

[公式]

3. 加法和乘法都分别符合交换律

[公式]

4. 乘法对加法有分配律

[公式]

5. 存在加法单位

在F中有元素 0 , 使得[公式]

6. 存在乘法单位，且这个单位不同于加法单位0

在F中有不同于O的元素 1 ，使得[公式]

7. 存在加法逆元

[公式] 使得 [公式]

非0元素存在乘法逆元

[公式] 使得 [公式]

[公式]

环

环比域更宽泛，域是特殊的环。在上面域的讨论中，8条公理保证(F,+)和(F,*)都是交换群，且*对+有分配律。而环不要求(F,*)是交换群，仅要求为半群。环的严格定义如下:

集合[公式] 和定义于其上的二元运算 [公式] 和·构成的三元组， [公式] 构成一个环，若它们满足以下三点:

1.[公式] 形成一个交换群, 其单位元称为零元, 记作 0 ，即:

2.[公式] 形成一个半群，即:

3. 乘法关于加法满足分配律，即(左分配和右分配):

[公式]

向量空间

向量空间与域都有八个公理，而且他们有一些相似性，这两者也可以进行对比,引用下知乎上Yuhang Liu的观点

线性空间是一个加法群再配上一个域的数乘运算。它跟环最明显的区别是它上面没有乘法（数乘不是乘法），仅仅依靠线性空间的结构你不能把两个向量相乘。当然，线性空间上可以继续扩展结构，定义一种“有乘法的线性空间”，也就是 代数（是，代数 本身是一种代数结构，我不知道当时为什么人们要把它命名为代数。。），比如说 矩阵代数，它上面有加法，有数乘，还有自然的矩阵乘法。不严格地讲，代数就是一个既是线性空间又是环的东西（有人会把线性空间的条件放宽到模，但是很多文献里面讨论代数一般还是假定基底是一个域的）。 环就是一个既有加法也有乘法的东西，且加法和乘法之间满足一些相容性条件。域是一个乘法可逆且乘法可交换的环。 链接： zhihu.com/question/6129...

向量空间定义如下:

给定域F，F上的向量空间V是一个集合，其上定义了两种二元运算：

V中的元素称为向量，相对地，F中的元素称为标量。

向量+与数乘* 满足8条公理，此处不赘述。其中前四个公理说明装备了向量加法的V是交换群，余下的四个公理应用于标量乘法。需要注意的是向量之间的加法“+”和标量之间的加法“+”是不一样的，标量与向量之间的标量乘法**·**和两个标量之间的乘法（域F中自带的乘法）也是不一样的。

模

模(module)是对向量空间的推广，将标量需为域(向量空间)推广到任意环(模)。维基百科module部分原文如下：

A module over a ring is a generalization of the notion of vector space over a field, wherein the corresponding scalars are the elements of an arbitrary ring.

向量空间是F-模