求高二一道数学题（抛物线）解法。

Question

抛物线y=2px(p>0)上有两动点A.B及一个定点M，F为焦点，若|AF|，|MF|，|BF|成等差数列，（1）求证线段AB的垂直平分线过定点Q.（2）若|MF|=4,|OQ|=6(O为坐标原点)，求抛物线方程.（3）对于（2）中抛物线，求三角形AQB面积的最大值。
（最好是三问都做..如果实在不行..仅求第一问...）

Answer 1

题中抛物线方程按y^2=2px处理。
(1)设点A的坐标为(xa,ya)，点B的坐标为(xb,yb)，点M的坐标为(xm,ym)
设线段AB的中点为C，点C的坐标为(xc,yc)。
抛物线y^2=2px的焦点坐标为(p/2,0)
则|AF|=√{(xa-p/2)^2+ya^2}=√{(xa-p/2)^2+2pxa}=√(xa^2+p*xa+pa^2/4)=xa+p/2；
同理可求|MF|=xm+p/2，|BF|=xb+p/2。
∵|AF|，|MF|，|BF|成等差数列
∴|AF|-|MF|=|MF|-|BF|
∴xm=(xa+xb)/2
则xc=(xa+xb)/2=xm，yc=(ya+yb)/2
AB的斜率K=(ya-yb)/(xa-xb)=(ya-yb)/{ya^2/(2p)-yb^2/(2p)}=2p/(ya+yb)
AB垂线的斜率=-1/K=-(ya+yb)/(2p)
则可以设线段AB的垂直平分线方程为y={-(ya+yb)/(2p)}x+b
将C点坐标代入方程中得到b=(ya+yb)/2+{(ya+yb)/(2p)}xm
则AB的垂直平分线方程为y={-(ya+yb)/(2p)}x+(ya+yb)/2+{(ya+yb)/(2p)}xm
则y={-(ya+yb)/(2p)}*(x-p-xm)
当x=p+xm时y=0
∵p与xm都为定值
∴AB的垂直平分线过定点Q，Q的坐标为(p+xm, 0)
(2)∵|MF|=4,|OQ|=6
∴xm+p/2=4，p+xm=6
解方程组得p=4
抛物线方程为y^2=8x
(3) 由(1)可知AB的斜率K=2p/(ya+yb)
设AB的直线方程为y={2p/(ya+yb)}x+b
将点C的坐标代入方程中得b=(ya+yb)/2-(2pxm)/(ya+yb)
对于（2）中抛物线，直线AB的方程为y={8/(ya+yb)}x+(ya+yb)/2-16/(ya+yb)
设直线AB与x轴的交点D坐标（xd, 0）
则0={8/(ya+yb)}xd+(ya+yb)/2-16/(ya+yb)
则xd=2-(ya+yb)^2/16
⊿AQB的面积=⊿AQD的面积+⊿BQD的面积
⊿AQD和⊿BQD的共用底边QD的长度=OQ-OD=6-{2-(ya+yb)^2/16}=4+(ya+yb)^2/16
ya与yb的差值即为⊿AQD和⊿BQD的高度和，设ya-yb>0
则⊿AQB的面积S=1/2*{4+(ya+yb)^2/16}*(ya-yb)
S=1/32*(64+ya^2+2*ya*yb+yb^2)*(ya-yb)
∵ya^2=8xa,yb^2=8xb
∴ya^2+yb^2=8(xa+xb)=16xm=16*2=32
∴S=1/16*(48+ya*yb)*(ya-yb)
设h=ya-yb
则h^2=ya^2-2*ya*yb+yb^2=32-2*ya*yb
∴ya*yb=16-h^2/2
∴S=1/16*(48+16-h^2/2)*h=-h^3/32+4h
上面的函数在h>0的区间是个开口向下的曲线，S有最大值
S对h求导数等于0时为最大值点，即-3*h^2/32+4=0时,h=8√(2/3)
则三角形AQB面积的最大值=64√6/9