设光滑曲面z=f(x,y)在xoy面上的投影为有界闭区域D,则该区面的面积表示成二重积分为？

Question

急！！！

Answer 1

分析：
在D上，二重积分∫∫dxdy表示的就是D的面积，此题的关键就是将D表示出来。
z=f(x,y)在xoy面上的投影为有界闭区域，此区域就是曲面z=f(x,y)与平面z=0的交线与坐标轴所围成的趋于。
因此交线可表示为：z=f(x,y)且z=0，在二维坐标系里面，即f(x,y)=0
于是趋于可表示为：f(x,y)≤0
所以该二重积分表示为：∫∫dxdy，"∫∫“下标为f(x,y)≤0

例：z=-(x²+y²)+2
此曲面是一个抛物面，它与xoy平面的交线为：-(x²+y²)+2=0，即x²+y²=2，所以它在xoy面上的投影为：x²+y²≤2
于是二重积分表示为：∫∫dxdy，"∫∫“下标为x²+y²≤2