证明题就过程，谢谢了！比较急

Answer 1

此题有两种解法。一种是高中方法，一种是拉格朗日中值定理。
一，
两边取对数后，变成ln(1+1/x)＜1/x，
设t=1/x
所以问题转换为证明：当t＞0时，ln(1+t)＜t
令f(t)＝ln(1+t)－t，f(0)＝0，f'(t)＝1/(1+t)－1＜0，所以f(t)在[0,+∞)上单调减少，所以t＞0时，f(t)＜f(0)，即ln(1+t)＜t

所以，x＞0时，ln(1+1/x)＜1/x，所以x＞0 时，(1+1/x)^x ＜ e

二，用拉格朗日中值定理
令f(t)＝ln(1+t)－t
根据拉格朗日中值定理
存在一个ξ，在区间(0，t)上使得
[f(t)-f(0)]/(t-0)=f'(ξ)
f(0)=0
而f'(t)=1/(1+t)-1=-t/(1+t)
因为ξ＞0，所以f'(ξ)＜0
即f(t)/t＜0
f(t)＜0
命题得证。结论我就不写了。
不过作为高数题，我觉得应该用第二种方法比较合适。

追问

我觉的你的答案好像一开始就落东西了，我那上还有一个x次幂呢，可是从头到尾都没有看到你对x次幂的处理。可能是我那地方的知识点记住的不全没看出来你已经处理了，可以麻烦你说一下么？

追答

两边取对数ln

左边=ln(1+1/x)^(1/x)
=(1/x)*ln(1+1/x)

写错了

ln(1+1/x)^x=xln(1+1/x)

右边=lne=1

xln(1+1/x)＜1
ln(1+1/x)＜1/x

用到的是高中的对数知识。
lna^b=blna

追问

对对我就会到这，往下就不会了，往下就接着你刚开始往下写的那样写呗，设t

我觉得用第一种方法比较简单，但是是不是应该是当t<0呀

追答

t=1/x呀

你题目里x＞0的啊

t当然＞0啊

我觉得高数题应该用拉格朗日的做法，不过如果题目没要求，第一种方法也可以

追问

第一种方法我能理解第一种方法我不理解。

追答

那你就用第一种方法吧。。。第二种可能你要复习下拉格朗日中值定理了，我这里要解释的话很难解释的清

追问

两边同时取倒数，要变符号方向的，x>0那1/x不就<0了么

追答

x＞0是吧，我取x=2

1/2是＜0的？

追问

对对我得复习一下才能看明白

追答

我取x=3，1/3是＜0的？

这个是初中知识了吧。。。

追问

啊！抱歉我想错了，对，初中知识，初中高中学的不好

Answer 2

求采纳

Answer 3

x为正数，即证xln(1+1/x)<1，即证ln(1+1/x)<1/x，得证